Symmetrie nachweisen: Achsen- und Punktsymmetrie

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

wissen Sie, ob die untenstehenden Berechnungen richtig zum Nachweisen für Achsen- und Punktsymmetrie sind, so habe ich das in der Schule gelernt, bin mir aber nicht sicher ob ich das so richtig verstanden habe.

Ich habe folgenden Lösungsansatz gemacht:

Achsensymmetrie: f(x) = f(-x)
Ausgangsgleichung: f(x) = -xhoch4 + 3x² -2

f(4) = -(4)hoch4 + 3(4)² -2 f(4) = -256 + 24 -2 f(4) = -234

f(-4) = -(-4)hoch4 + 3(-4)² -2 f(-4) = -256 + 24 -2 f(-4) = -234

f(x) = f(-x) -234 = -234 ist achsensymmetrisch *Ist es egal, wenn das Ergebnis + oder - als Vorzeichen trägt? Es muss doch nur beides gleich sein, oder? *

Punktsymmetrie: f(x) = -f(-x)
Ausgangsgleichung: f(x) = -2x³ +2x

f(2) = -2(2)³ + 2(2) f(2) = -16 + 4 f(2) = -12

f(-2) = -2(-2)³ + 2(-2) f(-2) = +16 - 4 f(-2) = 12

f(x) = f(-x) 12= -(-12) ist punktsymmetrisch

Danke schonmal

Beste Grüße boot99

#2

richtig ist, dass man f gerade (laienhaft auch achssymmetrisch) nennt, wenn f(-x)=f(x) fuer alle x gilt.

es reicht natuerlich nicht, diese fuer x=4 zu ueberpruefen, mit einem beispiel kann man nur beweisen, dass etwas nicht gilt.

gleiches gilt fuer ungerade (laienhaft: punktsymmetrisch), es muss f(-x)=-f(x) gelten, aber fuer alle x, nicht nur fuer x=2.

#3

Danke, Hättest du auch einen Rechenweg für beide Aufagben?

#4

na einfach jeweils f(-x) ausrechnen, und sehen, ob f(x) oder -f(x) rauskommt.

z.b. fuer f(x):=x^2 ist f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x), fuer f(x):=x^3 hingegen ist f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x).

man sieht leicht, dass monome mit geradem exponenten immer gerade und solche mit ungeradem exponenten immer ungerade sind. also muss man bei polynomen gar nicht wirklich rechnen, man kann diese eigenschaften einfach ablesen.

viel spass!

#5

Alles i.O.

Note: Sehr gut (+)

Es geht auch ohne Rechnung.

Nur gerade Exponenten und/oder Zahl:
Achsensymmetrie zu y- Achse

Nur ungerade Exponenten:
Punktsymmetrie zum Ursprung

#6

Vielen Dank für deine Antwort.

#7

Vielen Dank für Ihre Antwort.

#8

Hallo, könnten Sie mir sagen ob die folgenden drei Funktionen Achsen-, Punktsymmetrisch oder gar nicht Symmetrisch sind?

-2x + 3

3x³ - 1

(x+2)²

Beim Nachweisen, komme ih auch auf die Lösung, außer bei der letzten, dort weiß ich nciht wie ich das Binom auflöse.
Bei den anderen zwei Funktionen würde ich gerne direkt ablesen können um welche Symmetrie es sich handelt.
Können Sie mir da helfen?

Gruß und Dank
boot99

#9

(x+2)^2=x^2+4x+4
((-x)+2)^2=x^2-4x+4

Funktionen 2. Grades sind achsensymmetrisch zur Parallelen zu y-Achse durch den Scheitel.

Geraden sind punksymmetrisch zu ihrem Schnittpunkt mit der y-Achse

#10

Un warum ist die erste Funktion nicht symmetrsch, die zweite Funktion (3x³-1) aber schon?

#11

Hab ich doch schon in der ersten Antwort geschrieben. Der Funktionsterm besteht aus einer Summe aus einem Vielfachen einer Potenz von x mit heradem Exponenten und einer (negativen) Zahl => Achsensymmetrie zur y-
Achse. Der erste Funkrionsterm ist eine Summe aus einer x-Potenz mit u n g e r a d e m Exponenten (1) und einer Zahl => keine (einfache) Symmmetrie. x = x^1. Den Exponenten 1 lässt man eifach weg.

#12

Meinen Sie den Exponeten von der -1?
Also lasse ich bei der Aufgabe einfach - 1 weg?

#13

Wo steht denn da ein E x p o n en t (Hochzahl) - 1 ?

+1 kann man im Exponenten weglassen d.h. man schreibt ihn erst gar nicht.

#14

Ich meinte warum diese Funktion ungerade Exponenten hat, 3x³ ist mir klar hoch 3 ist eine ungerade Zahl aber bei - 1 ist der Exponent ja 0 und null ist doch gerade. Dann wäre diese Funktion doch eine gemischte, oder?

#15

Achsensymmetrie: f(x) = f(-x)
Ausgangsgleichung: f(x) = -xhoch4 + 3x² -2

f(4) = -(4)hoch4 + 3(4)² -2 f(4) = -256 + 24 -2 f(4) = -234

f(-4) = -(-4)hoch4 + 3(-4)² -2 f(-4) = -256 + 24 -2 f(-4) = -234

f(x) = f(-x) -234 = -234 ist achsensymmetrisch *->Fehler! Außerdem sind zwei Beispiele (4 und -4) kein Beweis!
Allgemein:
Berechne f(-x) und du erhältst –(-x)hoch4 + 3(-x)² -2 =-xhoch4 + 3x² -2= f(x). Das wars.

Ist es egal, wenn das Ergebnis + oder - als Vorzeichen trägt? Es muss doch nur beides gleich sein, oder? *
->JA!

Punktsymmetrie: f(x) = -f(-x)
Ausgangsgleichung: f(x) = -2x³ +2x

f(2) = -2(2)³ + 2(2) f(2) = -16 + 4 f(2) = -12

f(-2) = -2(-2)³ + 2(-2) f(-2) = +16 - 4 f(-2) = 12

f(x) = f(-x) 12= -(-12) ist punktsymmetrisch -> ?

Wieder wie oben. Berechne f(-x) und du erhältst  f(-x)=……= -f(x). Dann hast du den Beweis.

Grüße auch von hier!
Walter

#16

Matheass runterladen, Funktion plotten lassen.
3x^(-3) -1 ist punktsymmetrisch zu (0-1).

Den Exponenten -3 konteich nerst mit der Lupe lesen!

#17

An sich schon in Ordnung - allerdings musst Du zeigen, dass dies für alle x im Defintionsbereich gilt und nicht nur für einzige ausgewählte Punkte…