Hallo!
Ich bin in der 11. Jahrgangsstufe eines Gymnasiums und habe nun folgende Mathematikaufgabe bekommen:
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente, die senkrecht zur Geraden y = - 1/3 x + 4 ist.
Gegebene Funktion ist f(x) = x² + 4x -3
Ich will keine Ergebnisse (und wenn dann ohne Lösungsweg) sondern nur den Ansatz wie ich darauf komme, denn die Senkrechte ist ja glaube ich die Normale. Wie komme ich also wenn ich Funktion und Normale hab zu der Tangentenfunktion?
Freue mich auf Antwort
f '(x) = 3 setzen
2x+4 = 3 => x = -1/2
Hallo,
die beiden Gleichungen (Gerade bzw.
quadratische Funktion) würde ich gleichsetzen, um den Schnittpunkt zu ermitteln, danach mit m(x-x0)+y0 die Funktion der Tangente bestimmen (für x0 bzw. y0 die Werte des Schnittpunktes übernehmen, dann Steigungsfunktion mit quadratischer Funktion gleichsetzen). Falls ich falsch liegen sollte, schau doch mal bei
http://peheko.netfast.org/m1102/tangpar/Tan1.htm rein, da wird’s ganz gut erklärt!
Gruß Thomas
m=Steigung der Tangente. Dann ist die Steigung der Normalen dort gleich
-1/m.
Ganz einfach…
Du brauchst die Steigung der gesuchten Tangente. Diese kann man daraus bestimmen, dass sie ja auf der gegebenen Geraden senkrecht stehen soll. Und für die Steigungen zweier Geraden, die zueinander senkrecht stehen, gilt …?
Du brauchst die Steigung einer beliebigen Tangenten an den Graph von f. Diese erhält man aus…?
Aus (1) und (2) kannst du nun eine Gleichung für den Wert von x aufstellen, bei dem die Tangente den Graph von f berührt.
Mit dem Ergebnis aus (3) erhälst du den Berührpunkt, und damit und mit (1) dann die Gleichung der Tangenten.
Hilft das weiter?
(Ergebnis übrigens: y = 3x - 3,25; wenn ich mich nicht verrechnet habe 
)
P.S.: Danke, dass du angegeben hast, in welcher Klasse und an welcher Schulart du bist! Das macht es viel leichter für mich, das richtige Niveau in der Antwort abzuschätzen.
Ich verstehe die Frage nicht: Was hat die Gleichung der Geraden mit der Gleichung der Parabel zu tun? An jede der beiden kann man Normalen und Tangenten anlegen. Die Normale(=Senkrechte) steht senkrecht auf der Tangenten. Man könnte also auch sagen, dass die Normale eine um 90° gedrehte Tangente ist.
Da es in jedem Punkt einer (differenzierbaren) Funktion eine Tangente gibt, gibt es auch in jedem Punkt eine Normale. Um welchen Punkt soll es gehen?
Hallo hehehahahoho,
das muss nicht sein, dass die Gerade die Normale ist. Sicher ist lediglich, dass sie die gleiche Steigung wie die Normale zu der gesuchten Tangente hat. Aus der gegebenen Geraden kann man die Steigung m t der Tangente ermitteln. Hat man diese mit Hilfe der Formel m t = -1 / m g ermittelt, so kann man die Ableitung von f(x) mit dieser Steigung gleichsetzen und den(die) Punkt(e) ermitteln, in dem die Steigung gegeben ist. Hat man diesen Punkt, kann man mit Hilfe der Steigung und des Punktes auch die Tangente errechnen.
Viele Grüße
funnyjonny
Hallo,
Um eine Tangente zu einer Funktion zu finden benötigt man wenn ich es richtig erinnere die erste Ableitung der Funktion. Hattet Ihr das schon im Unterricht? Ansonsten kann man in jedem Fall den Schnittpunkt der Normalen mit der Kurve der Funktion berechnen und hat somit auch schon einen Punkt der gesuchten Tangente.
Der Lösungsweg ist damit leider noch nicht vollständig aber vielleicht hilft es trotzdem.
LG
CJ
Also erstmal ein genereller Tipp:
Zwei Geraden stehen senkrecht aufeinander, wenn die Multiplikation beider Steigungen -1 ergibt.
In deinem Fall müsste die Senkrechte also die Steigung 3 haben (3•-1/3=-1).
Nun musst du noch überlegen, wo diese Gerade Tangente an die Funktion ist. Also musst du eine Stelle suchen, wo die Funktion die Steigung 3 hat. Also Ableiten, …
Und dann überlegen, wo die Gerade die Y-Achse schneidet.
Hilft dir das?
Grüße
Danke! Deine Antwort war für mich die am leichten verständlichste und hat mir weitergeholfen.
Alles Liebe.
Hallo,
korrekt, die Senkrechte ist die Normale. Es gibt aber nicht „die“ Normale zu der gegebenen Geraden, sondern beliebig viele - sie können die gegebene Gerade ja überall schneiden. Also bekommst du mit dieser Bediungung nur die Steigung der gesuchten Tangente heraus.
Die Steigungen aller möglichen Tangenten an die gegebene Parabel bekommst du durch Ableiten der Parabelfunktion. Wenn du die mit der Steigung der Normalen vergleichst, bekommst du einen Berührungspunkt der Normalen ( = der gesuchten Tangente) mit der Parabel. Damit hast du eine Steigung und einen Punkt und somit ist die Tangente definiert.
Viele Grüße,
malte
Meine Antwort von vorher ignorieren, die ist falsch.
Hallo,
nochmals Antwort von mir:
Gerade, tangente und kurve
Haben keinen gemeinsamen schnittpunkt (wie irrtümlich von mir
angenommen). Was du wissen musst ist: die tangente hat die Steigung 3 (wegen y=-1/3x (+4))! Die Gleichung für
die tangente muss also sein: 3x +/-…!
Bei -1/2 hat die kurve die Steigung 3 (wegen der Ableitung) und x (-1/2) dann in die kurvenGleichung einsetzen
um y zu ermitteln! Das ermittelte y muss dann bei 3*-1/2 (3x) plus oder minus konstante herauskommen, und so ermittelst du die tangentengleichung (y=3x+/-konstante)!
Einfach -1/2 einsetzen und das y einsetzen und nach konstante auflösen!
Das wars!
Gruß Thomas
hallo,
leider kann ich die Frage nicht beantworten
BK.
Hallo!
Hmm, dann will ich mal versuchen den Lösungsweg nur zu skizzieren.
Also zunächst mal: Normale ist (in der in der Geometie „üblichen“ Terminlogie) ein anderes Wort für Senkrechte.
Man muß bei der Aufgabe zuerst herausfinden, welchen Anstieg die Senkrechte zu der gegebenen Gerade hat. Anschließend bestimmt man (mittels der Ableitung der Funktion) die Punkte, an denen die Funktion eben diesen Anstieg hat.
…alles klar?
MfG
Stefan Langhammer