Moin zusammen.
Wenn ich die parabelfunktion y=×^2 nehme und die dann ganz schnell um die y - Achse drehen würde, käme ja im 3 dimensionalem Raum so eine Art „Tasse“ heraus. Welche Volumen hat dann die Tasse?
( mit -2< x <+2). Und wie wird das berechnet?
Gruß Ralf
Das ist relevant beim 3 D Drucker. . .
Hi!
Das geht mit Integralrechnung:
Lass √x um die x-Achse rotieren, mit x=0…4
Schneide das gedanklich in dünne Kreisscheiben der Dicke dx. Deren Radius ist √x, die Fläche (auf einer Seite) damit 2πx, und das Volumen 2πx * dx
V=∫04 2πx dx= [πx²]04=16π
Äh… war schon spät… das Volumen ist natürlich πr², also πx.
Die 2 ist zuviel, am Ende sind es 8π.
Hallo sweber. Volumen ist doch „hoch 3“.
Und pi mal x^2 ist doch nur Fläche. . .
Doch doch, das von den Einheiten passt:
Diese Scheibe hat die Dicke dx m und den Radius r=(√x)m, daher die Grundfläche A=πr²=((√x)m)²=πx m² und das Volumen V=A dx = πx m² dx m = πx dx m³
Ich bin ja nicht der große Mathematiker, aber für das Volumen eines einfachen Rotationsparaboloid, um den es sich hier mE handelt, findet sich in meiner guten alten DDR-Formelsammlung von Bartsch aus 1986, die ich mal für zwangsumgetauschtes Geld in Prag erworben habe: V=1/2pir²*h.
Der Radius r entspricht dem Radius am oberen „Tassenrand“, in deinem Fall also 2, wenn ich jetzt mal richtig annehme, dass es nicht um x<2 sondern um x<=2 gehen soll. Und h ist der y-Wert zu 2 also 4 (y=x²). D.h. das Volumen wäre dann also 25,13 (Maßeinheit hattest Du nicht angegeben).
Das ist ja das Schöne in der Mathematik, wenn mehrere Wege zum exakt selben Ergebnis führen. Der Unterschied ist nur, dass die von mir genannte Formel geradezu trivial ist und mit Grundrechenarten auch für Laien problemlos zu verwenden ist. Da reicht ein Taschenrechner. Die Sache mit den Integralen ist da schon eine andere Hausnummer. Abgesehen davon finde ich den Hintergrund dieser Formel sehr interessant. Denn wenn ich das richtig verstehe, geht die Formel davon aus, dass ein Rotationsparaboloid einen umschrieben Zylinder exakt in zwei gleiche Volumina unterteilt. Das ist doch sehr anschaulich.
Hallo @Wiz.
Das ist ja das Schöne in der Mathematik, wenn mehrere Wege zum exakt selben Ergebnis führen. Der Unterschied ist nur, dass die von mir genannte Formel geradezu trivial ist
Wie ist das denn zu verstehen? Meinst du nicht eher, dass die Anwendung der Formel trivial ist? Die Formel selbst ergibt sich ja nicht ohne längere Überlegungen.
Denn wenn ich das richtig verstehe, geht die Formel davon aus, dass ein Rotationsparaboloid einen umschrieben Zylinder exakt in zwei gleiche Volumina unterteilt.
Das wiederum war wohl schon Archimedes bekannt. Der hat im Prinzip die gleiche Zerlegung der Parabel in infinitesimale Zylinderscheiben vorgenommen wie @sweber und diese Scheiben (in Gedanken) auf einer Hebelstange hin- und hergeschoben, sodass sie den umbeschriebenen Zylinder im halben Abstand von der Drehachse im Gleichgewicht halten.
Liebe Grüße
vom Namenlosen
Nun ja, deine Formel kommt zwar aus der Formelsammlung. Aber dorthin ist sie ja auch nicht aus dem Himmel gefallen. Sie ist das Ergebnis derselben Integration der Funktion y=f(x) =f(x²). Nur daß hier um die y-Achse rotiert wird, statt um die x-Achse wie @sweber es macht.
Das Integral von @sweber
V=∫04 πx dx= [½πx²]04=8π
schreibt sich dann so:
V=∫04 π(√y)²dy= [½πy²]04=8π
D.h. die infinitesimalen Scheiben haben nicht die Dicke dx, sondern dy. Und daraus resultiert die spezielle Formel für das Rotationsparaboloid deiner Formelsammlung.
Daß das Volumen genau ½ VZylinder ist, ist eine (bekannte) Eigenschaft der Parabel.
Ob um x oder y ist ja egal, nur 90% derer, die wissen, was ein Integral ist, haben dann doch Schwierigkeiten, wenn da was anders als dx steht. Daher hab ich das gekippt.
Ja, genau darum geht es: Ich habe ja gar nichts gegen die andere Formel, finde es vielmehr bewundernswert, wenn Leute ganze Tafeln mit Formeln vollschreiben, komplexe Geschichten herleiten können und am Ende zu einem korrekten Ergebnis in konkreten Zahlen kommen, wo zuvor kaum eine Zahl aufgetaucht ist (was ich definitiv nicht kann), … Aber wie man an der Fragestellung und der Rückfrage sieht, scheint der Fragesteller nicht auf diesem Niveau mithalten zu können, und muss das auch gar nicht, weil er ja nur ein ganz praktisches kleines Problem möglichst schnell und einfach lösen und nicht Mathe studieren will. Und da ist eine Formel, die man problemlos in einer Minute in jeden Taschenrechner eingetippt hat und auch zum richtigen Ergebnis kommt, mE Gold wert.
Und das finde ich eben auch spannend an der von mir genannten Formel, dass ich mit meinen eingeschränkten Mathe-Fähigkeiten (ich hatte nur den Begriff Paraboloid irgendwo schon mal gehört) und ohne irgendwelche Hintergründe zu dem Thema zu kennen (so etwas kam bei mir bis zum Abi nicht in der Schule vor), auf den ersten Blick erkennen konnte, dass das eigentlich eine Formel zur Berechnung des Volumens eines Zylinders ist, das dann einfach nur halbiert wird. Das kann man sich (ohne die Herleitung kennen und verstehen zu müssen) gut vorstellen und merken und kommt dann auch später wieder schnell auf die Formel, wenn man sie mal wieder braucht.
Das ist mir durchaus bewusst. Aber wie ich gerade schon dem @Der_Namenlose geschrieben habe, erschien mir der Fragesteller mit der Herleitung etwas überfordert. Und da er nur ein kleines praktisches Problem lösen will, …
jup , ich habs verstanden. volumenberechnung ist „eigentlich“ nicht soooo schwer.
Hin und her: ihr habt weitergeholfen.
danke
ralf
