Tautologieregeln und Beweis

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo ihr Lieben,

wir haben heute in der Mathevorlesung die Tautologieregeln aufgeschrieben

(p\ \wedge\ q)\ \Leftrightarrow\ p

(p\ \vee\ q)\ \Leftrightarrow\ q

Da Tautologien immer wahre Aussagen sind, müsste man doch im zweiten Fall auch wahr hinter das Äquivalenz-Zeichen schreiben können oder nicht?
Der erste Fall ist mir klar, da die Tautologie sowieso wahr ist, kommt es nun auf die zweite Aussage an. Ist diese auch wahr, dann ist der gesamte Ausdruck wahr, ist p falsch, ist die gesamte Aussage falsch.
Der zweite Fall (ODER_Verknüpfung) ist doch immer wahr, da die Tautologie doch schon wahr ist, oder?

Unser Professor sagte in der Vorlesung, bei Unklarheiten sollen wir mal versuchen die Regeln zu beweisen. Meine Idee wäre, eine Wahrheitstafel zu erstellen, bei der ich für q (die Tautologie) immer wahr einsetze und für p einmal wahr und einmal falsch einsetze. Wenn dann z. B. im ersten Fall das Ergebnis immer von dem wahr

Liebe Grüße Matthias

P.S.: Weiß jemand wo ich den Vorschau-Button finde? Der war doch immer neben dem Abschicken-Button…


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MOD: LaTeX-Teil korrigiert. Die beiden „CODE“-Zeilen enthielten statt „“ ihre HTML-Namen &‍lt; und &‍gt; – deshalb hat es nicht funktioniert.

#2

Hallo nochmal,

ich habe mal alles in Latex geschrieben. Die CODE-TAGs scheinen ja nicht zu funktionieren oder ich mache was falsch. Hier der Link zu meiner fertigen Latex-Datei mit Beweis.

https://www.dropbox.com/s/fevc2t4bo9qsyus/Latex%20Te…

Liebe Grüße Matthias

#3

Hi,

ja mit einer Wahrheitswerttabelle wirst du herausfinden, dass der zweite Fall keine Tautologie ist.

Beim ersten ist es klar: Wenn deine Prämisse p & q das Wahre bedeutet, dann muss daraus folgen, dass auch beide Konjunkte das Wahre bedeuten.

Beim zweiten Fall ist das nicht der Fall.

Wenn noch etwas unklar bleibt, dann einfach melden.

#4

Es gibt keine festen „Tautologieregeln“. Die zwei Regeln, die du aufgeschrieben hast, sind nur Beispiele für Regeln mit Tautologien.

Übrigens verwendest du mit \Leftrightarrow Ausdrücke aus der Metasprache, zumindest nicht aus der Logik erster Ordnung, formulierst also hier tatsächlich eine Regel und keine Formel - so zumindest die Konvention in vielen Vorlesungen-; daher ist „wahr hinter das Äquivalenz-Zeichen schreiben“ kategorial problematisch da „w“ und „wahr“ verwechselt werden. Das nur mal beiläufig.
Davon abgesehen: Ja, auch die zweite Regel ist immer wahr: auch wenn p den Wert f hat, ist die lilnke Seite immer w, genauso wie die rechte.

#5

Hallo dark_Jeedee,

vielen Dank für deine Antwort. Hast du dir mal mein Beweis im Latex-Dokument angesehen? Ist das so richtig?

Liebe Grüße Matthias

#6

Hallo,

Hast du dir mal mein Beweis im Latex-Dokument angesehen? Ist das so richtig?

Die Wahrheitstabellen sind nicht vollständig und deswegen auch kein Beweis. Einerseits fehlen zwei Kombinationen für Belegungen von p und q. Das müssen insgesamt vier Zeilen sein. Außerdem fehlt die Spalte, in der du die Äquivalenzrelation ausrechnest. Erst wenn in dieser Spalte überall ein „wahr“ steht, ist die Tautologie bewiesen.

Nico

#7

Hallo ihr Zwei,

dankeschön schonmal für eure Antworte. Jetzt dachte ich schon ich habs verstanden und jetzt schreibt Nico es fehlen noch zwei Belegungen :smile:

@Nico: Ich vermute du meinst so:
https://www.dropbox.com/s/yrmif67875wkkvi/Beweis.pdf

oder? Falls ja, dann frag ich mich, warum man für Tautologien auch die Annahme trifft sie seien falsch. Wenn ich das richtig verstanden habe, sind Tautologien doch immer richtig, oder habe ich da was falsch verstanden?

@dark_Jeedee: Falls das richtig ist, was ich jetzt gemacht habe. Warum ist dann die erste Tautologieregel keine und die zweite schon? Die äquivalenz stimmt doch bei beiden nicht.

Vielen Dank für eure Geduld.

Liebe Grüße Matthias

#8

Ja, der Beweis stimmt nun. Allerdings hast du ja schon festgestellt, dass du bewiesen hast, dass die beiden Formeln keine Tautologien sind.
Kann es sein, dass du die Tautologien falsch abgeschrieben hast? Ich kenne die in folgender Form:
(p \land q) \lor p \Leftrightarrow p
(p \lor q) \land q \Leftrightarrow q

Nico

#9

Ich habe es vor paar Tagen noch in irgendeinem Buch gesehen, aber leider finde ich gerade nicht.
Aber online bei Wikibooks.org steht es auch:
http://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Fr…

schau mal bei dem Punkt „Gesetze mit W und F und zur doppelten Verneinung“ (drittletzter Punkt) dort steht die Tautologie (in meinem Fall q) aber gleich mit wahr drin.

Liebe Grüße Matthias