Taylorreihe von Artanh

Wissenschaft Mathematik
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Hallo Mathefreunde
Ich Muss die Taylorreihe von Arctanh finden,
Ich bin wie folgt vorgegangen:
$f(x)= (\frac{ 1 }{ 2 })ln(\frac{ 1+x }{ 1-x })$
$f^1(x)= \frac{ 1 }{ x^2+1 }$
$f^2(x)=\frac{ 2x }{ x^4-2x^2+1 }$
$f^3(x)=\frac{ -6x^2-2 }{ (x-1)^3(x+1)^3 }$

$f(x)= 0$
$f^1(x)= 1$
$f^2(x)=0$
$f^3(x)=-2$
Taylorreihe:
$x+\frac{ 0 }{ 2! }+\frac{ -2x^3 }{ 3! }…$
gekürzt:
$0+\frac{ x }{ 1! }+\frac{ -2x^3}{ 3! }+\frac{ 24x^5 }{ 5! }…$
Die Summenform kann ich mir sparen da Wikipedia folgende Antworten auspuckt:
$x+\frac{ x^3 }{ 3}+\frac{ x^5 }{ 5 }+\frac{ x^7 }{ 7 }…$
Nur warum ist da keine Fakultät mehr? Wo liegt mein Fehler?
Liebe Grüße
Anna

2

Ok sorry Irgendwie funktioniert Latex hier nicht so wie ich es gewohnt bin, ich hiffe es ist verständlich ansonsten hier

3

Hallo Anna,

0+\frac{ x }{ 1! }+\frac{ -2x^3}{ 3! }+\frac{ 24x^5 }{ 5!}…

x+\frac{ x^3 }{ 3}+\frac{ x^5 }{ 5 }+\frac{ x^7 }{ 7 }…

Nur warum ist da keine Fakultät mehr? Wo liegt mein Fehler?

Das ist kein Fehler. Die anderen Faktoren kürzen sich doch raus.

Aber es gibt da noch eine Vorzeichenfrage, hm? :wink:

Grüße
Metapher

4

Oh!Du hast ja recht :smiley:
Das hab ich komplett übersehen, vielen Dank!
Hast Du einen Tipp was mit meinem Vorzeichen nicht stimmt? Und einen Tipp wie ich hier mit latex Formeln posten kann?
Liebe Grüße
Anna

5

Hast Du einen Tipp was mit meinem Vorzeichen nicht stimmt?

Du hast (-1)3 = -1 übersehen.

Und einen Tipp wie ich hier mit latex Formeln posten kann?

Es gibt ein Tag dafür, in das du das Ganze einklammerst. Click in meiner Antwort oben mal auf „Antworten mit Zitat“, dann siehst du es. Alles dazwischen geht wie immer.

Liebe Grüße zurück
Metapher

6

Hi,

mal die umständliche LaTeX-Unterstützung hier ignorierend:

$f(x)= (\frac{ 1 }{ 2 })ln\left(\frac{ 1+x }{ 1-x }\right)$

hat die erste Ableitung

$f’(x)=\frac{1}{1-x^2}$

Das war sicher nur ein Tippfehler von Dir, denn in den weiteren Ableitungen ist das Vorzeichen richtig.

Dies kann in eine geometrische Reihe entwickelt werden,

$f’(x)=\sum_{k=0}^\infty x^{2k}$

und diese wieder gliedweise integriert, mit Konstante per $f(0)=0$,

$f(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k+1}}{2k+1}$

Gruß, Lutz