Teilen im Kasten - Quantenzahlen

Wissenschaft Physik
#1

Hallo,

unter http://de.wikipedia.org/wiki/Teilchen_im_Kasten#Gesa…
ist ja relativ gut beschrieben, wie man die Gesamtwellenfunktion und
die Gesamtenergie eines Elektrons in einem dreidimensionalen Kasten
erhält. Nun betrachten wir einen Quader der Länge c in x-, der Länge
c in y-, der Länge b in z- Richtung. Dadurch wird die Entartung der
Energie zumindest teilweise aufgehoben (Jahn- Teller- Effekt). Was ich
nicht ganz verstehe, ist die mögliche Konstellation der Quantenzahlen
n_x, n_y, n_z. Im Spezialfall c = b, also einem Elektron im Quader,
ist es klar: Im Grundzustand ist die mögliche Konstellation {1,1,1}.
Im nächst höheren, angeregten Zustand sind wieder mehr Konstellationen
möglich: {2,1,1}, {1,2,1}, {1,1,2}, d.h. die Gesamtenergie ist dreifach
entartet. Ich hoffe, Ihr könnt mir helfen! Vielen Dank!

Gruß.

#2

Die Gesamtenergie im 1. AZ beim Spezialfall Quader ist nur deshalb
dreifach entartet, weil sie für alle möglichen drei Konstellationen
{2,1,1}, {1,2,1}, {1,1,2} die gleiche ist. In unserem Fall kommt
für den 1. AZ eine Reduzierung der Entartung von drei- auf zweifach
vor. Stimmen diese möglichen Konstellationen der Quantenzahlen?

GZ:

{1,1,1}

  1. AZ:

{2,1,1}, {1,2,1}, {1,1,2}

  1. AZ:

{3,1,1}, {1,3,1}, {1,1,3}, {3,2,1}, {2,1,3}, {1,2,3}

Für den 2. AZ habe ich die Energieformeln noch nicht „berechnet“.
Ich schätze aber, dass die Entartung wahrscheinlich vierfach sein muss,
als im 2. AZ, da für {3,1,1}, {1,3,1}, {1,1,3} analog zum 1. AZ
die Entartung zweifach ist, und für {3,2,1}, {2,1,3}, {1,2,3} die
Entartung auch zweifach sein sollte.

#3

Hallöchen,

  1. AZ:

{3,1,1}, {1,3,1}, {1,1,3}, {3,2,1}, {2,1,3}, {1,2,3}

Ich glaub das stimmt so nicht ganz

Im Falle eines Quaders:

GZ: {1,1,1}
1.AZ: {1,1,2},{1,2,1},{1,1,2}
2.AZ: {2,2,1},{2,1,2},{1,2,2}
3.AZ: {3,1,1},{1,3,1},{1,1,3}
4.AZ: {2,2,2}
5.AZ: {3,1,2},{3,2,1},{1,2,3},{2,1,3},{1,3,2},{2,3,1}

und so weiter… Sind wir uns da einig? Bin mir selbst nicht sicher, ob ich nicht einen vergessen hab :smile:

Viele Grüße
Cybi

#4

Hallöchen,

  1. AZ:

{3,1,1}, {1,3,1}, {1,1,3}, {3,2,1}, {2,1,3}, {1,2,3}

Ich glaub das stimmt so nicht ganz

Mittlerweile bin ich mir da auch nicht mehr sicher.

Im Falle eines Quaders:

GZ: {1,1,1}
1.AZ: {1,1,2},{1,2,1},{1,1,2}
2.AZ: {2,2,1},{2,1,2},{1,2,2}
3.AZ: {3,1,1},{1,3,1},{1,1,3}
4.AZ: {2,2,2}
5.AZ: {3,1,2},{3,2,1},{1,2,3},{2,1,3},{1,3,2},{2,3,1}

und so weiter… Sind wir uns da einig? Bin mir selbst nicht
sicher, ob ich nicht einen vergessen hab :smile:

Im Prinzip sind wir uns einig. Der 2. AZ sollte auch dem des
mit vorliegenden Modells entsprechen, die Quantenzahlen sollten
sich ja nicht ändern. Oder???

Viele Grüße
Cybi

#5

Im Prinzip sind wir uns einig. Der 2. AZ sollte auch dem des
mit vorliegenden Modells entsprechen, die Quantenzahlen
sollten sich ja nicht ändern. Oder???

Ja, wir reden doch beide von einem quaderförmigen Kasten, oder? Ansonsten kann man das nicht so schnell und einfach hinschreiben, da die Energie abhängig von der Kastenlänge ist.

#6

OK, ich hätte definitiv die Info hinzufügen sollen, dass die
Kantenlänge in z- Richtung, b, länger ist als die Kantenlängen in x-
und y- Richtung, jeweils c. Ein angeregter Zustand definitiert sich
nicht über seine Quantenzahlen, sondern über seine Energie!(?)

#7

Das eine bedingt ja das andere. Die Energie ist dennoch gequantelt und man nummeriert normalerweise „von unten nach oben“, also der energetisch günstigste Zustand ist als Grundzustand definiert und der nächste ist der erste angeregte, dann kommt der zweite u.s.w.

Viele Grüße
Cybi

#8

Ja, natürlich, Du hast vollkommen Recht! Eigentlich sollte man
bei dieser Art von Aufgabe ja die Energiebetrachtung parallel
zur Quantenzahlbetrachtung durchführen, oder? Die Abfolge der
der ersten beiden Fragen lautete: Wie lauten die Quantenzahlen
für den GZ, den 1. AZ und den 2. AZ? Berechnen Sie die Energien
zu diesen Zuständen für c = 100 und b = 150! So. Für den
Grundzustand haben wir {1,1,1}. Dann folgen die Zustände {2,1,1},
{1,2,1}, {1,1,2}. Man kann aber (laut Übungsgruppe) nicht sagen,
dass das der der 1. AZ ist, da sich AZs über ihre Energien definieren.
Die allgemeine Formel für die Energie in einem dreidimensionalen
Qauder lauten: E = C * ((n_x²/L_x²) + (n_y²/L_y²) + (n_z²/L_z²)).
Nun ist ja L_x = L_y = c und L_z = b. Aus c = 100 und b = 150 folgt,
dass b = (3/2) * c … Schlussendlich kommt man auf die Formel:
E = C’ * (9 * n_x² + 9 * n_y² + 4 * n_z²)
Nun berechnet man eben E für {1,1,1}, {2,1,1}, {1,2,1}, {1,1,2}.
Dann sieht man, dass folgendes gilt: E für {1,1,1} = C’ * 22,
E für {2,1,1} = C’ * 49, E für {1,2,1} = C’ * 49, E für {1,1,2} = C’ * 34.
Und somot folgt, dass GZ: {1,1,1}, 1. AZ: {1,1,2}, 2. AZ: {2,1,1}, {1,2,1}.
Didaktisch bereitet mir die Bezeichung des Entartungsgrades Probleme:
GZ nicht entartet, 1. AZ nicht entartet, 2. AZ 2- fach entartet, aber 1- fach
und 0- fach entartet (nicht entartet) gibt es somit ja eigentlich nicht?! ^^
Dann war die Frage, welche Zustände in unserem System immer entartet sein
werden: Da komme ich bei der Formulierung nicht klar ^^ Wenn die Summe aus
n_x² + n_y² für verschiedene n_x, n_y gleich ist, und sich n_z² von der
Summe unterschiedet, dann tritt Entartung auf, sonst nicht?