Liebe/-r Experte/-in,
Ich bereite mich gerade für eine Mathe-Schulaufgabe (FOS Bayern) vor u. verzweifele an folgender Aufgabe.
Wer kann mir helfen:
„Gesucht ist eine ganzrationale Funktion f dritten Grades, deren Graph den Ursprung und den Punkt Q (3;6,75) enthält. Außerdem hat f im Ursprung eine waagrechte Tangente und für x=3 und x=5 die gleiche Steigung.“
Vielen Dank vorab für die Mühe.
y=ax^3+bx^2+cx+d
ableiten + in beide gleichungen werte einsetzen + so die koeeffizienten bestimmen…
Hallo Roland,
eine ganzrationale Funktion f hat folgende allgemeine Funktionsgleichung:
f(x)=a x^3 + b x^2 + c x + d mit der Ableitung
f’(x) = 3 a x^2 + 2 b x + c
Das heißt, du musst die vier unbekannten Parameter a, b, c, und d aus den Aussagen bestimmen. Es ergeben sich die vier Bedingungen:
(1) Sie geht durch den Ursprung, d.h. f(0) = 0
(2) Sie geht durch den Punkt Q, also f(3) = 6,75
(3) Sie hat im Ursprung eine waagerechte Tangente, also f’(0) = 0
(4) f’(3) = f’(5)
Aus (1) folgt d = 0 und aus (3) folgt c = 0. Die restlichen beiden Unbekannten kannst du dann mit (2) und (4):
Aus (2) folgt zum Beispiel: 27 a + 9 b = 6,75
Herzliche Grüße Marie-Luise
Lieber Roland,
ich geh mal davon aus, dass auch du in der Schule nichts gelernt hast außer jenem gekoppelten Gleichungssystem mit 4 Unbekannten. In der Uni sind solche Aufgaben gar nicht statthaft ===> lineare Abhängigkeit ===> schlechte Konditionierung.
Für die Bemerkung, dass auch dir die Lehrer nichts Gescheites ’ gelernt ’ haben, wiurde ich bei Cosmiq allerdings schon deaktiviert - sog. ’ Beleidigung von Unterrichtsmaterialien ’ - ja und einmal sogar wegen Gotteslästerung …
Nur falls du Interesse zeigst - meld dich doch bei Cosmiq an; ich firmiere dort unter " Gilgamesch 81116 " - sog. " Persönliche Nachricht " ( PN ) an mich mit dem Internetlink auf deine Aufgabe. Ich habe da zwei Spezialtricks entwickelt, mit deren Hilfe du 99 % dieser " Steckbriefaufgaben " erschlägst, wie sie bei Cosmiq heißen.
Gleich zu Beginn kommt ein Trick, den ich selbst übrigens heute auch zum ersten Mal benötige ( Hier ich bin voll kreativ und innovativ; kennst du den Song von Annette Louisan " Hallo Iv; hallo Eve " ?
Da steht doch
f ’ ( 3 ) = f ’ ( 5 ) ( 1 )
Da ließe sich was draus machen. Die Ableitung eines kubischen Polynoms ist eine quadratische Parabel; wenn zwei Funktionswerte einer Parabel gleich sind. Na liegt doch genau in der Mitte zwischen ihnen der Scheitel:
f ’ ( min ) = 4 ( 2 )
Und was bedeutet das Minimum der ersten Ableitung für die Ausgangsfunktion f ? Ja offensichtlich einen WP.
Und jetzt benötigen wir den ersten von meinen beiden Standardtricks. Was euch eure Lehrer da von der 2. Ableitung erzählen, ist nämlich alles dummes Zeug - namentlich bei Steckbriefaufgaben.
Du gehst immer aus von der Normalform
F ( x ) = x ³ + a2 x ² + a1 x + a0 ( 3 )
Eintrag in die Formelsammlung
x ( w ) = - 1/3 a2 = 4 ===> a2 = ( - 12 ) ( 4a )
Es sollte eigentlich klar sein
a0 = a1 = 0 ( 4b )
F ( x ) = x ³ - 12 x ² ( 4c )
An sich sind wir fertig; uns fehlt zum Glück nur noch der Skalierungsfaktor k. Wir suchen ja f ( x ) mit
f ( x ) := k F ( x ) ( 5 )
k ist nur eine " halbe " Unbekannte, die ich überhaupt nicht ernst nehme. Du magst sie ermitteln aus dem Punkt Q.
In Cosmiq sagen die Mods ja immer, wir sollen euch nicht zu viel helfen - na lass ich dir dieses k als Hausaufgabe.
So sind die Charaktere verschieden; du hast gar keinen Ansatz und ich gleich zwei. Mein zweiter Standardtrick geht so:
Ihr sollt doch alle Grafen immer auf Symmetrien hin untersuchen; jetzt kommt etwas, was dir so wohl der Lehrer als auch das Internet verschweigen. Diktat fürs Regelheft
" Jedes kubische Polynom verläuft Punkt symmetrisch gegen seinen WP. "
Alle kubischen Polynome singen immer wieder die gleiche Melodie; Minimum und Maximum liegen SPIEGEL SYMMETRISCH zum WP. Kennst du zwei von ihnen, so automatisch auch den dritten.
In ( 4a ) hatten wir gesagt x ( w ) = 4 ; im Ursprung muss wohl das Maximum liegen ( Nullstelle der ersten Ableitung ! ) Das Maximum hast du immer LINKS vom WP ( warum? ) Unser alternativer Ansatz argumentiert
x ( min ) = 8 ( 6 )
Und plötzlich hast du die Zerlegung der ersten Ableitung in Linearfaktoren beisammen:
f ’ ( x ) = k x ( x - 8 ) ( 7a )
= k ( x ² - 8 x ) ( 7b )
Auf diesem Weg musst du die Lösung allerdings durch Aufleiten von ( 7b ) errechnen.
f ( x ) = k ( 1/3 x ³ - 4 x ² ) ( 7c )
= k/3 ( x ³ - 12 x ² ) ( 7d )
vgl. ( 4c ) Jetzt mache ich aber noch die Probe auf ( 1 ); wir leiten ( 4c ) ab
F ’ ( x ) = 3 ( x ² - 8 x ) ( 8a )
F ’ ( 5 ) = 5 ² - 8 * 5 ( 8b )
F ’ ( 3 ) = 3 ² - 8 * 3 ( 8c )
F ’ ( 5 ) - F ’ ( 3 ) = 5 ² - 3 ² - 8 ( 5 - 3 ) = ( 8d )
= ( 5 - 3 ) [( 5 + 3 ) - 8] = 0 ( 8e )
Das ist wie im Fußball; du brauchst Technik und einen gescheiten Trainer. Also mein Angebot steht.
PS Es gibt keine Schulaufgabe, für die du mehr wie 2 Unbekannte benötigst; hier hast du ein typisches Beispiel, wo du bereits mit einer durch kommst ( erste Methode ) oder sogar Null Unbekannten ( zweite Alternative. )
Also:
y(x)= a+b*x + c*x^2 + d*x^3
sind vier Unbekannte a bis d.
Vier Angaben gibt es :
y(0)=0
y(3)=6,75
y’(3)=0
y’(5)=0
Das ergibt ein lineares Gleichungssystem mit vier Unbekannten.
Jetzt gilt es rechnen!
Viel Erfolg!
Dietmar