Trägheitsmomente veranschaulichen/ besser ins Gefühl bekommen

Wissenschaft Physik
#1

Hallo zusammen,

mir ist aufgefallen, dass das Trägheitsmoments eines Rings mit Rotationsachse senkrecht zur Ringebene und durch dessen Zentrum (I = mr²) sich halbiert, wenn man den Ring ganz auffüllt (I einer Scheibe: I = (1/2) mr²), ebenso, wenn man die Rotationsachse um 90° dreht. Wenn man die Rotationsachse bei der Scheibe um 90° dreht, halbiert sich das Trägheitsmoment logischerweise wieder (I = (1/4) mr²).

Lässt sich das irgendwie (vll. anschaulich) begründen, warum denn das Auffüllen des ganzen Innenraums des Rings genau eine Halbierung des Trägheitsmoments nach sich zieht? Es ist ja offensichtlich nicht so, dass dann die gleiche Masse achsennäher dazukommt (genau so beim Kippen um 90°).

Grüße,
Matthias

PS: Man konnte auf WWW auch mal TeXen, geht das nicht mehr?

#2

Hallo!

ich sehe keine Möglichkeit, das irgendwie anschaulich zu begründen. Sämtliche Erklärungen, die mir so kommen, führen doch wieder nur zu irgendwelchen mathematischen Begründungen, so daß man das Trägheitsmoment auch einfach direkt berechnen kann.

Nebenbei, wenn du das ungewöhnlich findest:
Das Trägheitsmoment eines Würfels ist 1/6 ma^2, wobei a die Kantenlänge ist. Und das gilt für jede beliebige Rotationsachse durch seinen Mittelpunkt, nicht nur bei den drei Hauptachsen. Daß es sowas für andere Körper als eine Kugel gibt, ist schon merkwürdig.

#3

Hallo,

ich fürchte, mit der neuen Software ist diese Möglichkeit verschütt gegangen.

Gruß
Christa

#4

Das habe ich schon befürchtet. Danke für die Antwort! Und ja, das mit dem Würfel ist erstaunlich!

#5

Hallo alleine,

so weit so gut.

Wie stellst du dir das denn vor? Was wird denn da aufgefüllt?
Es wird nichts „aufgefüllt“. Die Masse m des obigen Rings bleibt erhalten, sie wird zur (Kreis)Scheibe mit Radius r umgeformt.
Dadurch rücken Teile der anfänglichen Masse m im Abstand r vom Zentrum, näher zum Zentrum hin. Für diese Teile wird r kleiner und dadurch auch das Trägheitsmoment I kleiner.
Dein:

kann man auch so schreiben: I = m r²/2 .
Der Term „r²/2“ kann als „Trägheitsradius“ bezeichnet werden. Er stellt jenen Abstand von der Drehachse dar, in den man die gesamte Masse m verlegen müßte, um das gleiche Trägheitsmoment des anfänglichen Rings zu erhalten (siehe z.B.: B. Baule, „Die Mathematik des Naturforschers und Ingenieurs“, S. Hirzel Verlag Leipzig, 1959, Seite 158, Kapitel „IV. Trägheitsmoment“).

Gruß

Tankred

#6

genau das ist der Punkt. Die Vorstellung des „Auffüllen“ ist falsch.
Ich hab die Erfahrung gemacht, dass man eigentlich schon ein ganz gutes Gefühl für Trägheitsmoment hat - zumindest für Rotationtsträgheitsmomente. Man muss sich nur ganz genau klarmachen, wie die Massenverteilung aussieht und wie schwer es ist, das Ding dann in Bewegung zu setzen.

Schwieriger wird’s mit Flächenträgheitsmomenten (in welche Richtung lässt sich ein Lineal leichter verbiegen?). Aber auch das kommt mit der Übung.

#7

Mit dem „Auffüllen“ war lediglich das Volumen (bzw. in diesem Fall die Fläche) gemeint.

[Der „Trägheitsradius“] stellt jenen Abstand van der Drehachse dar, in den man die gesamte Masse m verlegen müßte, um das gleiche Trägheitsmoment des anfänglichen Rings zu erhalten

Danke hierfür.

Ich denke auch, dass man eigentlich schon ein ganz gutes Gefühl dafür hat, aber machmal lässt sich so ein Gefühl dann ja auch logisch begründen. Das passiert ja letztlich auch durch die gewöhnliche Rechnung, nur gibt es manchmal eben auch anschauliche Beweise oder Darstellungen des Sachverhalts.

Gruß,
Matthias