Trigonometrie 2

Wissenschaft Mathematik
#1

Leider hab ich noch ein Trigonometrie-Beispiel, bei dem ich nicht weiterkomme…

Angabe:
Von einem ebenen Viereck ABCD sind gegebenen: a=736,42m, b=1261,40m, \beta=122,19°, \delta_1= winkel(d,f)=33,77° und \delta_2=winkel(c,f)=42,40°. Ermittle die fehlenden Umfangsstücke!

Lösung: Mit dem Cosinussatz kann ich mir problemlos die Diagonale e ausrechnen. Auch die restlichen Winkel im Dreieck ABC sind kein Problem.
Vom Dreieck ACD kenne ich dann allerdings nur eine Seite (e) und den Winkel. Brauche ich da nicht noch eine Angabe?

Ich habe versucht drei Gleichungen aufzustellen:
I: f : sin(alpha_1 + alpha_2) = a : sin(delta_1)
II: f : sin(gamma_1 + gamma_2) = b : sin(delta_2)
III: 360° = alpha_1 + alpha_2 + beta + gamma_1 + gamma_2 + delta_1 + delta_2

aus III folgt: gamma_2 = 103,83° - alpha_2
I und II hab ich jeweils nach f umgeformt und gleichgesetzt, dann hatte ich nur noch eine Gleichung mit der Unbekannten alpha_2.
Mit CAS kann man diese Gleichung auch lösen und es kommt sogar das richtige heraus, doch wir haben in der Schule nur einen herkömmlichen Taschenrechner ohne CAS. Wie geht es dann zu lösen?

#2

Vom Dreieck ACD kenne ich dann allerdings nur eine Seite (e)
und den Winkel. Brauche ich da nicht noch eine Angabe?

Ich habe mir den Rest jetzt nicht genau angeguckt.

Aber mit einer Seite und einem Winkel kannst Du die einfachen Sachen benutzen:

sin(a)=gegen/hypo
cos(a)=an/hypo
tan(a)=gegen/an

#3

sin(a)=gegen/hypo
cos(a)=an/hypo
tan(a)=gegen/an

Aber das gilt doch nur im rechtwinkligen Dreieck! Hier habe ich ein allgemeines Dreieck!

#4

Hallo,

Ich habe versucht drei Gleichungen aufzustellen:
I: f : sin(alpha_1 + alpha_2) = a : sin(delta_1)
II: f : sin(gamma_1 + gamma_2) = b : sin(delta_2)
III: 360° = alpha_1 + alpha_2 + beta + gamma_1 + gamma_2 +
delta_1 + delta_2

Deine Überlegungen sind alle richtig. Ich schreib das Gleichungssystem nochmal hin:

\frac{f}{\sin\alpha} = \frac{a}{\sin\delta_1}
\quad\quad[1]

\frac{f}{\sin\gamma} = \frac{b}{\sin\delta_2}
\quad\quad[2]

2\pi = \alpha + \beta + \gamma + \delta
\quad\quad[3]

Jetzt heißt es erstmal abchecken, was genau darin bekannt ist und was unbekannt. Darüber muss man sich bei Rechnungen mit mehreren Unbekannten ja immer permanent im Klaren sein. Hier fallen die rechten Seiten von [1] und [2] auf: Sie sind vollständig bekannt. Das eröffnet die einfache Möglichkeit der Eliminierung von f mit dem Ergebnis:

\frac{\sin\gamma}{\sin\alpha} = \frac{a \sin\delta_2}{b \sin\delta_1} =: k
\quad\quad[4]

was bedeutet, dass α und γ in der Beziehung

k sinα = sinγ

zueinander stehen. Nun zur Gleichung [3]. Sie setzt – weil das β und δ darin bekannt sind – effektiv ebenfalls α und γ in eine Beziehung, nämlich diese:

γ = Θ – α

mit bekanntem Θ := 2π – β – δ. Das folgt unmittelbar aus [3].

Das Ersetzen von γ in [4] durch Θ – α liefert nun:

k \sin\alpha
= \sin(\Theta - \alpha)
= \sin\Theta\cos\alpha - \cos\Theta\sin\alpha

also ohne den Zwischenschritt:

k \sin\alpha = \sin\Theta\cos\alpha - \cos\Theta\sin\alpha

und nach Vereinfachung:

(k + \cos\Theta) \sin\alpha = \sin\Theta\cos\alpha

Jetzt das Ding durch die Klammer dividieren und anschließende Division durch cosα ergibt auf der linken Seite sinα/cosα und das ist tanα. Rest klar.

Coole Aufgabe :smile:

Gruß
Martin

#5

Wie gesagt, ich habe es nicht genau aufgezeichnet. Du hast recht, dann muss es was anderes geben.

#6

Hallo Martin!

Herzlichen Dank für deine Ausführungen!
Damit habe ich es jetzt geschafft!
Hätte nicht gedacht, dass ich den Summensatz für dieses Beispiel benötige. Alle anderen in unserem Schulbuch sind ohne!
Jetzt hab ich auf alle Fälle die richtigen Ergebnisse herausbekommen! Danke!

Liebe Grüße,
Vic

#7

Schau dir die Antwort von Martin an, so kommt man auf das Ergebnis, doch es kommt mit trotzdem ein bisschen kompliziert vor. Da gibt es doch bestimmt einen einfacheren Weg, oder?