Trigonometrische Funktionen

Wissenschaft Mathematik
#1

… Ableitungen… HILFE!!!
Hallo allerseits :smile:) und Frohe Ostern natürlich!!

Ich muss meine Osterferien leider mit Mathe zubringen, und zwar mit der Vorbereitung meiner GFS für übernächste Woche. Mein Thema ist Trigonometrische Ableitungsfunktionen, leider haben wir in der Schule noch nicht mal die normalen trig. Fkt. behandelt. Unser Schulbuch gibt nicht so viel her, es hat zwar Lösungen, aber die bringen mir nicht sehr viel.
Nun glaube ich, dass ich das Prinzip so einigermaßen verstanden habe, allerdings komme ich mit Aufgaben, die ich ohne Taschenrechner schaffen sollte, nicht weiter. Ich kann mir zum Beispiel nicht erklären, wie ich bestimmen soll, ob sin(1) (radian) eine negative oder positive Lösung hat, oder ob sin(п/4) größer, kleiner oder gleich cos(п/4) ist.

Könntet Ihr mir bitte helfen und trotz der Feiertage antworten? Ich würde mich wirklich sehr über ein ppaar nützliche Antworten freuen, oder vielleicht kenn jemand, eine gute website auf welcher das gut erklärt ist, oder wo ein paar Aufgaben mit Lösungsweg sind.
Vielen herzlichen Dank, und noch mal Frohe Ostern!!!1 :smile:)

#2

Ich fürchte, dass ich deine Fragen nicht mal richtig verstanden habe…
Die Ableitungen vom Sinus,Cosinus und Tangenz kann man sich einmal herleiten und danach auswendig lernen… (Der Herleitung wirst du bei Google finden)

dann lernt man am besten noch gewisse (bekannte) stellen vom sinus auswendig, bei 0 bei 0,5pi bei pi bei 1,5 pi und bei 2pi…

die sinus-kurve prägt sich eigenltich schnell ein… und wenn man die ein bis zweimal gezeichnet hat, dann merkt man sich auch stellen wie pi/4… zumindest, wenn man die cosinus-kurve ins gleiche diagramm zeichnet…

manchmal hilft auch sin² + cos² = 1

Mein Rat:
nen paar Graphen mit Sinus und Cosinus malen und dazu auch ein paar Dreicke… Sich dann vor Augen führen, wie die einzelnen Seiten sich ändern, wenn man einen anderen Winkel nimmt…

Dann bekommt man gleich nen bissl Verständnis wie das alles zusammenhängt…

#3

Ähm, also meine Frage hat sich auch nicht auf die Ableitungen bezogen, tut mir leid, hab ich wohl falsch ausgedrückt. Aber trotzdem danke, damit beschäftige ich mich gerade :smiley:

#4

Du musst ein Referat über die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen halten, obwohl ihr noch nicht einmal die Funktionen selbst behandelt habt?! Das ist schon herb…

An deiner Stelle würde ich mal in eine größere Bibliothek gehen und nach anderen Mathe-Büchern suchen (ich fand z. B. die von Lambacher/Schweizer immer gut). Oder im Internet rumschauen, da gibt es sicher auch viel… (der Wikipedia-Artikel ist ganz gut, enthält aber natürlich viel zu viel!)

Ich kann mir zum Beispiel nicht erklären, wie ich bestimmen soll, ob
sin(1) (radian) eine negative oder positive Lösung hat, oder
ob sin(п/4) größer, kleiner oder gleich cos(п/4) ist.

Für solche Fragen solltest du dir die Graphen der beiden Funktionen merken:

Der von Sinus geht vom Ursprung an aufwärts, bis er bei pi/2 (also etwa 1,57) den Wert 1 erreicht, dann wieder abwärts (symmetrisch), bis er bei pi (also etwa 3,14) wieder die x-Achse erreicht. Dann nach unten weiter (symmetrisch); bei 3pi/2 (etwa 4,71) der Wert -1, bei 2pi (etwa 6,28) wieder Null.

Der von Kosinus verläuft im Prinzip genauso, nur um pi/2 nach links verschoben (hat also bei -pi/2 den Wert 0, bei 0 den Wert 1 usw.).

Außerdem solltest du dir evtl. noch einige besondere Werte merken:

sin(30°) = sin(pi/6) = cos(60°) = cos(pi/3) = 0,5

sin(60°) = sin(pi/3) = cos(30°) = cos(pi/6) = Wurzel(3)/2

sin(45°) = sin(pi/4) = cos(45°) = cos(pi/4) = Wurzel(2)/2

(Außerdem kann evtl. noch der „trigonometrische Pythagoras“ (sin(x))^2 + (cos(x))^2 = 1 nützlich sein.)

Damit ist die Antwort zu deiner ersten Frage: sin(1) ist positiv (da 1 zwischen 0 und pi/2 liegt, also der Wert von Sinus zwischen 0 und 1); die Antwort zur zweiten Frage: beide Werte sind gleich.

#5

Danke, hat mir echt weitergeholfen :smile:)

#6

Kannst auch mal hier reinschauen, das sind Zusammenfassungen, die ich für meine Schüler geschrieben hatte:

http://www.feuerbachers-matheseite.de/sincostan_im_E…

http://www.feuerbachers-matheseite.de/Ableitungen_de…

(bei der zweiten Datei ist vor allem die zweite Seite wichtig - das ist die Standard-Herleitung der Ableitung zum Sinus, die erste Seite ist eher „Eigenbau“)

#7

Hallo Xenija,

dein Problem ist zum Glück ein leicht zu behebendes:
Insbesonder die erste Frage nach dem Vorzeichen von Sin(1): 1 rad (ca. 57,3°) ist ein Winkel, der in einem rechtwinkeligen Dreieck der Alltagswelt vorkommt (also zwischen 0 und 90° liegt); die Seitenlängen solcher Dreiecke sind jedenfalls positiv, folglich auch das Verhältnis einer Kathete zur Hypotenuse.

Allgemein, also auch bei Winkeln 90°, empfehle ich folgende vier Bilder:

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cuadrante1.svg
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cuadrante2.svg
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cuadrante3.svg
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cuadrante4.svg

Es wird also ein rw. Dreieck gezeichnet, bei dem die Ankathete auf der x-Achse liegt, der Winkel, dessen Ankathete es ist, im Ursprung, und der Winkel wird von rechts gegen den Uhrzeigersinn gerechnet. Wie hoffentlich ohne weiteres ersichtlich, ist hier die Ankathete zwischen -90° und +90° positiv, mithin auch der Cosinus, zwischen 90° und 270° ist sie negativ. Die Gegenkathete (also hier die senkrechte Seite) ist von 0 bis 180° positiv, von 180° bis 360° (oder, wenn dir das besser gefällt, von -180° bis 0) negativ, dementsprechend auch der Sinus.

Wie das mit pi/4 (=45°) ist, sollte offensichtlich sein, wenn du dir überlegst, wie gross dann der andere spitze Winkel ist.

Noch Fragen?
Sonst schon einmal frohe Ostern!
SdV

#8

Ob sin1 eine negative oder positive Lösung hat, kann man auf dem Einheitskreis oder dem Grafen der Funktion sehen. Das Gleiche mit anderen Werten.
Cos(pi/4) = sin(pi/4), dass kannst du selber beweisen. Hier habe ich ein Link für dich gefunden:

http://www.onlinemathe.de/forum/sin-pi4-ohne-Taschen…

Einheitskreis:

http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/einheitskr…

Grafen:

http://www.mathsisfun.com/algebra/trig-sin-cos-tan-g…

#9

http://oberprima.com/

http://www.mathe1.de/mathematikbuch/trigonometrie_si…

http://www.youtube.com/watch?v=xLG2peDCDLI

#10

Du gehst schon richtig an die Sache ran. Was du für deine Fragen und alles Weitere brauchst, sind die Funktionsgraphen oder/und der Einheitskreis:
http://www.google.de/search?q=trigonometrische+funkt…
und
http://de.wikipedia.org/wiki/Trigonometrische_Funktion
Viel Erfolg! Du kannst aber auch gerne nochmal fragen…
Schöne Ostern!
Walter

#11

Hallo Xenija,

ich weiß leider auch nicht, wie man das auf die Schnelle noch lernen kann. Und ich habe über Ostern auch kaum Zeit, mich damit zu beschäftigen.

Gruß,
Ingo

#12

Hallo,
versuche es mal mit:
www.mathematische-basteleien.de

Grüße,
Dani

#13

Hallo Xenija,
zur Vorbereitung zeichne einmal beide Funtktionen, sin und cos im Bereich -pi bis pi = 3,14…
Bei vielen Aufgaben kannst du mit Nullstellen argumentieren, denn zwischen zwei Nulstellen kann eine stetige Funktion immer nur komplett positiv oder negativ sein. Welche Nullstellen haben denn die Funtktionen?

Auf wikipedia findest du auch viele Hinweise und eine gute erklaerung zur Bedeutung von sin und cos.

evtl spaeter mehr.

Dir auch frohe Ostern.

#14

Vielleicht mal unter „Einheitskreis“ googeln.

#15

Radian ist ohne besondere Bezeichnung, ein Winkel von a Radian wird einfach als a bezeichnet. Radian als Einheit steht für Bogenmaß, d.h. das Verhältnis von dem einem Winkel in einem beliebigen Kreis gegenüberliegenden Kreisbogenabschnitt, geteilt durch den Radius dieses Kreises.
1 (Radian) ist demnach der Winkel, dessen Bogen gleich dem Radius ist. Er entspricht einem Winkel von 57,2958 DeG (Dezimal Grad) oder 57 Grad 17 min. 44,8 Sec.!
sin (1) oder sin (57,2958 DeG) = 0,841471 (gerundet); da dieser Winkel im 1. Quadranten des Kreises zwischen 0 und 90 DeG liegt, ist er positiv.
Bei sin(n/4) denke ich, Du meinst sin(pi/4) (und entsprechend cos (pi/4) ). Dazu ist nötig zu wissen, dass der Vollkreis, also 360 DeG, 2pi entspricht. Demzufolge ist 90 DeG dann pi/2 und pi/4 entspricht 45 DeG.
Sin (45 DeG) = Cos (45 DeG)= 0,7071 (gerundet), d.h. beide Ausdrücke haben den gleichen Betrag und sind im 1. Quadranten des Kreises (Einheitskreis) zu finden, daher positiv.

Soweit, so einfach.

Manuel Schröter

Ich kann

mir zum Beispiel nicht erklären, wie ich bestimmen soll, ob
sin(1) (radian) eine negative oder positive Lösung hat, oder
ob sin(п/4) größer, kleiner oder gleich cos(п/4) ist.

#16

Hallo,
ich bin leider erst ab heute wieder online, ich hoffe es hilft dir noch. Ich weiß zwar nicht, inwiefern das mit Ableitungen zu tun hat, aber man kann das lösen, indem man sich überlegt oder skizziert, wie sin(x) und cos(x) aussehen. Sie haben eine Amplitude von 1 und eine Periodenlänge (von Hochpunkt zu Hochpunkt) von 2 Pi. Sieht dann so aus: http://tinyurl.com/c38xv7q
Da kann man dann manche Werte ablesen (z.b. dass sin(0)=1, cos(0)=1, cos(5/4 Pi)= ca -0,7 usw usw usw.
Damit sollten sich deine Fregen lösen lassen. Vielö Erfolg!
Fabi123

#17

Liebe Xenija,
das ist alles furchtbar einfach: wenn man einen Zeiger mit Länge 1 am Ursprung des Koordinatensystems fest macht und dann um den Winkel alpha (gemessen an der positiven x-Achse, gegen den Uhrzeigersinn) dreht, dann hat die Zeigerspitze die Koordinaten (cos alpha / sin alpha).
Der Winkel 1 (Rad) entspricht ca 53°; das liegt im ersten Quadranten, also sind sowohl sin 1 als auch cos 1 positiv.
Der Winkel Pi/4 entspricht 45°; also sind hier Sinus und Kosinus gleich. Bei Winkeln zwischen Pi/2 und Pi (90° und 180°) ist die x-Koordinate der Spitze negativ, die y-Koordinate noch immer positiv; also Kosinus positiv, Sinus negativ und so weiter.
Ich hoffe, das hilft auf die Schnelle.
Liebe Grüße und viel Erfolg, J. Huber

P.S.: Ich kann bei Kenntnis einer email-Adresse gerne passende Arbeitsblätter schicken.

#18

Hallo,
deine Frage verstehe ich nicht.
Was hat die Ableitung zu tun mit der Frage, ob sin(1) (radian) eine negative oder positive Lösung hat?!

Gruss
Klaus G.

#19

Hallo,

am besten nimmst Du Dir mal die Graphen der Funktionen f(x) = sin x und g(x) = cos x in einem Mathematikbuch oder einem Mathematikprogramm vor.

Bei der Sinus-Kurve siehst Du dann beispielsweise, dass sie im Intervall ]0; Pi[ > 0 ist, also über der x-Achse verläuft. Dort sind die Werte also positiv. Da die Zahl 1 in dem angegebenen Intervall liegt, ist sin(1) > 0.

Zeichnest Du die Sinus- und die Cosinus-Kurve in ein gemeinsames Koordinatensystem ein, dann siehst Du, in welchen Bereichen die Sinus-Kurve unter der Cosinus-Kurve verläuft, wo sie sich schneiden bzw. wo die Cosinus-Kurve über der Sinus-Kurve läuft.
Von (-5/4)*pi bis (1/4)*pi liegt die Sinus-Kurve unterhalb der Cosinus Kurve. Bei pi/4 schneiden sich Sinus- und Cosinus-Kurve. Hinter dem Schnittpunkt läuft die Sinus-Kurve oberhalb der Cosinus-Kurve und zwar bis zum nächsten Schnittpunkt bei (5/4)*pi. So kann man sich anhand der Kurvenverläufe klar machen, dass z.b. sin(pi/4) = cos (pi/4) ist.
Vielleicht solltest Du im Internet mal nach Matheass (Shareware) schauen und dort unter dem Menüpunkt Analysis --> Funktionsplotter die beiden Kurven sin(x) und cos(x) eingeben. Dann siehst Du die Zusammenhänge graphisch dargestellt.

Viele Grüße
funnyjonny