Ich denke die meisten Antworten übersehen ein wenig die Fragestellung. Dabei geht es nicht darum dass ein Objekt aus dem Stand heraus auf Lichtgeschwindigkeit kommt, sondern es beschleunigt innerhalb einer Sekunde.
Wenn wir davon ausgehen, dass sich das ganze exponentiell beschleunigen soll, muss man von einer Geschwindigkeit ausgehen, die bei 0,1 sec ca. 30m/sec beträgt und sich dann so alle 0,1 sec um den Faktor 6 steigert.
Die zweite Voraussetzung fehlt leider: wohin bewegt es sich? nach unten, nach oben, tangential im Vergleich zur Erde oder parallel zur Erdoberfläche?
Nach unten ist das ganze ziemlich sinnlos, parallel zur Erdoberfläche auch. bleiben (im wesentlichen, es könnte ja auch im Kreis fahren oder wie auch immer) noch tangential oder nach oben.
Je nach Tiefe kommt es dann früher oder später (0,4-0,6 sec nach dem Start) an die Oberfläche (jetzt mal den enormen Druck und die Reibungshitze weglassend), wobei die Austrittsgeschwindigkeit im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit noch relativ gering ist, aber natürlich ausreicht, um die Schwerkraft zu überwinden.
Die Probleme mit dem Erreichen der Lichtgeschwindigkeit und damit auch des Betrachters (1 sec im inneren des Bootes oder von außen gemessen) treten also erst im Weltraum auf. Also von daher (bis auf den Start) kein Unterschied zu sonstigen Gedankenspielen mit der Lichtgeschwindigkeit.