Umgänge einer Spirale Berechnen

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo liebes Forum,  

ich habe ein kleines Problem bei der Berechnung einer Spirale. Es geht darum, die Umgänge einer Spirale mit gegebener Länge (2000mm), einer Dicke (Klingenstärke) von 0,4mm welche in einen Zylinder (Innendurchmesser 50mm) gewunden wird, zu berechnen. Es wird davon ausgegangen, dass die Feder sich komplett bis zum letzten Umgang außen anlegt.

Hier ein kleines Bild zur Veranschaulichung:  

http://www.watchtime.net/magazine-de/wp-content/uplo…

Wie viele Umgänge liegen außen an??
Und wie berechne ich das? 

Vielen Dank schon mal :smile:

#2

Hi,

in welcher Klasse/Semester bist Du?
Einfach nur damit wir wissen, was für einen Kenntnisstand wir voraussetzen können.

MFG

#3

Hi,
Näherungsweise könnte man die Fläche nehmen, die durch die Spirale abgedeckt wird und daraus einen einzigen Ring (ein Kreis der innen Hohl ist) bilden. Die Dicke des Ringes dann durch die einzelne Klingenstärke teiln. Aber ich meine, das sei nur eine Näherung.

Ich denke, man könnte das auch mit einer Funktion berechnen. Die müsste dann Gesamtlänge, Klingenstärke und der Innendurchmesser(linear, variabel) enthalten und als ergebnis die Umgänge liefern. Aber mein Kopf will um die Uhrzeit noch nicht so ganz. Vielleicht kommst du ja selbst auf die Lösung :smile:

mfg
Hans

#4

Die Längen der einzelnen Umläufe bilden eine arithmetische Folge - sie beginnen mit dem Innenumfang der Röhre (Pi*50 mm) und werden mit jeder Umdrehung um Pi*0,8 mm kürzer.
Nun kann man die Summenformel für arithmetische Reihen anwenden:
Sn = n * (a1 + (n-1)/2 * d)
wobei n als Unbekannte bleibt, und diese Summe gleich der Länge der Feder setzen (führt zu einer gemischtquadratischen Gleichung), woraus sich dann n (Anzahl der Lagen) berechnen lässt.

#5

Hallo

ich habe ein kleines Problem bei der Berechnung einer Spirale.
Es geht darum, die Umgänge einer Spirale mit gegebener Länge
(2000mm), einer Dicke (Klingenstärke) von 0,4mm welche in
einen Zylinder (Innendurchmesser 50mm) gewunden wird, zu
berechnen. Es wird davon ausgegangen, dass die Feder sich
komplett bis zum letzten Umgang außen anlegt.
Wie viele Umgänge liegen außen an??
Und wie berechne ich das? 

du deckst mit deiner Spirale praktisch eine Kreisringfläche ab deren innerer Radius
50mm beträgt.
Genau aus dieser Überlegung ergibt sich die Lösung.
Ich bezeichne hier mal die Ringfläche mit AR, den inneren Radius mit Ri=25mm und
den äußeren Ra.Ich gehe mal davon aus, daß dir die Formeln in dem folgenden
Berechnungsgang geläufig sind.
AR=2000*0,4=800
AR=(Ra^2-25^2)*pi
Die Umstellung auf Ra (die einzige Unbekannte) gebe ich hier explizit wieder.
Wie dies erfolgte lass ich dich „ergründen“.
Ra=sqr(800/pi+625)=29,66mm
Zwischen Ra und Ri passen (29,66-25)/0,4=11,65 Windungen.
Dies trifft nur zu, wenn die „Spirale“ die Fläche voll ausfüllt.
Am Anfang und am Ende sind aber kleine „Lücken“.
Dies bedeutet, daß Ra etwas größer wird und die Anzahl der „Umgänge“ etwas
geringer also vielleicht nur ca 11 und Ra ca 30mm.
Gruß VIKTOR