Umkehrfunktion bestimmen!

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Folgende Aufgaben:

„Wie lautet die Umkehrfunktion zu f(x) = (ln(2ax-10)) / (a²+1)“

Nun muss man ja beim Bestimmen der Umkehrfunktion die y-Funktion nach x auflösen und anschließend x und y vertauschen (Inverse Funktion bilden).

Leider weiß ich nicht wirklich, wie ich mit dem Ausdruck „(ln(…)“ umgehen soll.
ln(x) = 1 ; ln (2) = 0,69…
Klar, all dies kann ich im Taschenrechner bzw. mit Grundwissen heraus finden, allerdings hilft mir das im Gesamten kein Stück weiter. Zudem darf ja schlussendlich das x nicht wegfallen, damit ich noch auf dieses auflösen kann und die inverse Funktion bilden kann.

Ich danke im voraus für die Hilfe, um die Rechnung richtig weiter zu führen.

Schönen Gruß

Reiner

PS: Wenn ich schon bei diesen Rechnungen bin und auf Probleme stoße, noch eine Aufgabe, bei der ebenfalls die Umkehrfunktion zu bilden ist, ich aber auch hier mit dem Ausdruck nicht weiter komme:

f(x) = √(e^2x-4)/4

Dass e^lnx = x ist, ist mir bekannt, hilft mir aber gerade nicht weiter (Blockade!)

[M_L_]

Hallo erstmal

„Wie lautet die Umkehrfunktion zu f(x) = (ln(2ax-10)) / (a^2+1)“

Die Umkehrung des Logarithmus oder „ln“ ist die e-Funktion:
y * (a²+1) = (ln(2ax-10))

e^ (y * (a²+1)) = 2ax-10

(e^ (y * (a²+1)) +10)/2a = x

mfg M.L.

[RSS88]

Vielen vielen Dank! Wieder was gelernt! =)

Noch eine Idee, wie ich mit dem Ausdruck in der Wurzel zurecht komme. (Man beachte: Der gesamte Ausdruck nach der Wurzel ist innerhalb der Wurzel, also auch das „/4“).

Schönen Gruß

Reiner

[M_L_]

Dazu auch noch:

f(x) = √(e^2x-4)/4

x und y vertauschen
x = √(e^2y-4)/4

beide Seiten quadrieren:
x^2 = (e^2y-4)/4

beide Seiten *4
4x^2 = (e^2y-4)

beide Seiten mit ln bearbeiten:
ln(4x^2) = 2y-4

beide Seiten +4, dann durch 2 teilen

mfg M.L.

[RSS88]

1000 Dank! Riesen Hilfe! Sehr nachvollziehbar erklärt =)

[Nico_17312e]

Hallo,

beide Seiten quadrieren:

Dabei unbedingt aufpassen. Das Quadrieren ist keine äquivalente Umformung. Bsp.:
x=5
Diese Gleichung hat offensichtlich genau eine Lösung, nämlich x=5.
Nach dem Quadrieren entsteht:
x^2=25
Diese Gleichung hat allerdings zwei Lösungen, nämlich x=-5 und x=5.
Beim Quadrieren können also Scheinlösungen entstehen.
Im gegebenen Fall spielt das aber keine Rolle. Der Definitionsbereich von f^-1 (also die Menge der möglichen Werte für x nach dem Variablentausch) ist der Wertebereich der Funktion f. Und der ist zumindest durchgängig positiv. Dadurch fällt die entstehende Scheinlösung schon weg und man kann ruhigen Gewissens weiterrechnen.
Also: Beim Quadrieren von Gleichungen immer auf Scheinlösungen achten und ggfs. den Definitionsbereich weiter einschränken.

Nico