Umkehrfunktion bestimmen

Wissenschaft Mathematik
#1

Folgende Aufgabe:

„Man bestimme die Umkehrfunktion zu f(x) = 2x-4 / x+a“

Nun muss man ja beim Bestimmen der Umkehrfunktion die y-Funktion nach x auflösen und anschließend x und y vertauschen.
Mein Problem ist nun, dass aber mein x weg fällt. Ich somit also nicht weiter weiß:

2x/x --> 2

Dadurch erhalte ich folgenden Ausdruck:

y = -3/a

Nun kann ich ja nicht nach x auflösen, um dann anschließend die inverse Funktion zu bilden.

Ich danke im voraus für die Hilfe, um die Rechnung richtig weiter zu führen.

Schönen Gruß

Reiner

#2

Hi leider fehlen bei deiner Formeln ein paar Klammern so wi du es geschrieben hast wäre

y= 2x-(4/x)+a dass ist eine Quatratische formel da kommt man mit der pq-formel weiter.

Ich nehme aber an du meinst deine Funktion sieht so aus:

y = (2x-4) / (x+a)

dann multiplizierst du erst mit dem nenner:

y(x+a) = 2x -4

sotierst dann nach Ausdrücken mit x und ohne x

yx-2x = -4-ya
x(y-2) = -4-ya

noch teilen durch den Faktor bei x

x = - (4+ya)/(y-2)


––––––––
MOD: Missverständlich-irrtümlichen Doppelstrich (’’) hinter allen a entfernt.

#3

Richtig, habe die Klammern vergessen.

Super! Danke für diese tolle Erklärung! Jetzt kann ich auch weitere solche Aufgaben bearbeiten.

Schönen Gruß

Reiner

#4

Noch eine kurze Frage:

Wenn die Aufgabenstellung so lautet, ist die Aufgabe mit dem bilden der Inversen Funktion beendet, richtig? Also dann mit diesem Ergebnis:

x = - (4+ya) / (y-2) --> y = - (4+xa) / (x-2)

Eine Ableitung dessen zu bilden gehört nicht mehr zum bilden der Umkehrfunktion, oder?

#5

Erstmal vorweg bitte sagt mir wenn ich hier falsch liege, ist lange her das ich das mal gemacht habe.
Aber ich denke du musst da so vorgehen.
Ausgangsfunktion     y= 2x-4 / x+a      | * (x+a)
                     Y(x+a) = 2x-4               | -2x                 Y(x+a)-2x=-4  
                 
                  Yx+ya-2x=-4                   |-ya

                       Yx-2x=-4-ya

                     x*(y-2)=-4-ya               |/(y-2)

                              x= (-4-ya)/(y-2)   

Ergebnis                  y= (-4-xa)/(x-2)

Ich hoffe das hilft dir weiter
Ansonsten vielleicht auch hier mal gucken
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/247482,0.html

   

#6

Wenn die Aufgabenstellung so lautet, ist die Aufgabe mit dem bilden der Inversen Funktion beendet, richtig? Also dann mit diesem Ergebnis:
x = - (4+ya) / (y-2) --> y = - (4+xa) / (x-2)
Eine Ableitung dessen zu bilden gehört nicht mehr zum bilden der Umkehrfunktion, oder?

Die Umkehrfunktion erhält man durch Vertauschen von x und y („Umkehr“). Das Umstellen in die Form y = … gehört streng genommen schon nicht mehr dazu, man macht es aber immer, da es die übliche Schreibweise für Funktionen darstellt.

Eine Ableitung gehört nicht dazu.

Bernhard

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#7

Hallo Bernhard,

Die Umkehrfunktion erhält man durch Vertauschen von x und y („Umkehr“).

Wenn wir schon mal beim Strengnehmen sind… Das Vertauschen der Variablen ist eigentlich nur eine Schönheitssache. Wie die Variablen heißen, ist letztendlich vollkommen egal. Wichtig ist die Definition der Funktion. Im Beispiel:
f : \mathbb{R} \setminus {-a} \rightarrow \mathbb{R} : x \mapsto - \frac{2x-4}{x+a}
Dieselbe Funktion könnte auch anders aufgeschrieben werden:
f : \mathbb{R} \setminus {-a} \rightarrow \mathbb{R} : \Diamond \mapsto - \frac{2 \Diamond-4}{\Diamond+a}
Die Funktion ist exakt dieselbe. Es spielt keine Rolle, wie die Variablen genannt werden. Dasselbe gilt für die Umkehrfunktion. Nachdem diese berechnet wurde, wird der Variablentausch eigentlich nur vorgenommen, damit sie wie jede andere Funktion auch aussieht (f(x) = …).
Wird die entstehende Gleichung nicht nach f^-1 umgestellt, ist das zwar trotzdem eine Funktionsdefinition, allerdings eine implizite. Also bspw.:
f^{-1} : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : \clubsuit = - \frac{2 f^{-1}(\clubsuit)-4}{f^{-1}(\clubsuit)+a}
Diese implizite Funktion enthält dann alle Paare (\clubsuit, f^{-1}(\clubsuit)) für die die angegebene Gleichung gilt. Hier muss man ggfs. überprüfen, ob es sich wirklich um eine Umkehrfunktion oder nur um eine Umkehrrelation handelt.

Nico

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#8

Hallo Reiner,

na, jetzt hast du ja schon zwei Antworten mit dem Ergebnis. Da brauchst du meine Rechnung nicht mehr.

Viele Grüße
Franz Peter

#9

Hallo Reiner,

andere waren schneller als ich - hatte aber gestern wenig Zeit (und heute auch erst seit 20:00 Uhr). Ich kann aber die Angaben  der Anderen bestätigen.
Trotzdem Danke für die Anfrage, es war gut sich mal wieder mit Umkehrfunktionen zu beschäftigen.
Vielleicht noch ein Tipp zum strukturellen Vorgehen bei der Bestimmung von Umkehrfunktionen:

  1. Funktionsterm von f(x) nach x auflösen.
  2. Variablen-Tausch vornehmen (x wird zu y, und umgekehrt).

Freundliche Grüße,
Crawitter