Hallo!
Folgende Aufgabe:
"Man bestimme die Umkehrfunktion zu:
f(x) = - [sin(π*x2-4a)/a2-1]"
Nun habe ich zunächst mit dem Nenner multipliziert und erhalte folgende Gleichung:
y*(a2-1) = -sin(π*x2-4a)
Weiter habe ich die linke Seite ausmultipliziert:
a2y - y = -sin(π*x2-4a)
Leider weiß ich nun nicht so recht, was ich mit dem Sinus anfangen soll.
Ich hoffe jemand kann mir weiter helfen. Danke!
Hallo!
Nun habe ich zunächst mit dem Nenner multipliziert und erhalte
folgende Gleichung:y*(a2-1) = -sin(π*x2-4a)
Wenn in der Ausgangsgleichung der Term komplett im Nenner stehen sollte, ist das richtig. Ansonsten erst +1 und dann das ganze *2.
a2y - y = -sin(π*x2-4a)
Leider weiß ich nun nicht so recht, was ich mit dem Sinus
anfangen soll.
Ich halte das Ausmultiplizieren zwar nicht für hilfreich, aber ok. Erst mal noch das Minus auf die andere Seite bringen:
-a^2 y + y = \sin (\pi * x^2 - 4a)
Die Umkehrfunktion vom Sinus ist der Arkussinus:
\arcsin (\sin x) = x
\arcsin (-a^2 y + y) = \pi * x^2 - 4a
Den Rest kriegst du sicher selbst hin. Bei dem Arkussinus solltest du auf den Definitionsbereich achten.
Nico
Danke zunächst für Deine Hilfe!
Habe weiterhin folgendermaßen gerechnet:
arcsin(-a^2y+y) = Pi+x^2-4a
Nun habe ich durch Pi geteilt und + 4a gerechnet, um x zu isolieren:
(arcsin(-a^2y+y)+4a) / Pi = x^2
Beim ganzen die Wurzel ziehen um x zu erhalten:
Wurzel(arcsin(-a^2y+y)+4a) / Pi = x
Inverse Funktion bilden:
(arcsin(-a^2x+x)+4a) / Pi = y
Ist das soweit korrekt oder habe ich Schritte ausgelassen / falsch gemacht?
Danke weiterhin für die Hilfe!
Reiner
Hallo,
(arcsin(-a^2y+y)+4a) / Pi = x^2
Beim ganzen die Wurzel ziehen um x zu erhalten:
Wurzel(arcsin(-a^2y+y)+4a) / Pi = x
Aufpassen (eigentlich nicht erst hier, sondern schon beim Arkussinus). Die Gleichung x^2=b hat für positives b zwei Lösungen. Daher hat deine Funktion keine Umkehrfunktion - sie ist einfach nicht injektiv. Je nachdem, was du brauchst, kannst du unterschiedlich verfahren:
Ignoriere eine Lösung einfach.
Teile die Umkehrrelation in zwei Funktionen auf. Eine, bei der x positiv ist und eine, bei der x negativ ist.
Beim Sinus passiert genau das gleiche. Es gibt keine eindeutige Lösung. Du könntest die Relation aufteilen oder Lösungen ignorieren.
Nico
Das heißt ja, dass hier mehrere Fallunterscheidungen vorzunehmen sind, richtig?
Beim Anwenden des Arkussinus: Da muss sichergestellt sein, dass
-a2y + y
zwischen -1 und 1 liegt, denn nur für diesen Bereich ist die ARCSIN Funktion definiert.
Daraus resultiert also:
-1 2 - 1) 2 - 1) >= -1
ODER
-y(a2 - 1) 2 - 1).
Hierbei muss wieder unterschieden werden, ob das negativ oder positiv ist, und 0 darf es auch nicht sein. Daraus ergeben sich bestimmte Bedingungen für a… Ich kann das grad nicht machen, bin auf Arbeit, aber so wär’s doch oder?
Wenn also zwei Lösungen vorliegen und somit keine Umkehrfunktion zu bestimmen ist, könnte ich, wenn die Aufgabe eben lautet „Man bestimme die Umkehrfunktion“ nach dieser Aufstellung
(arcsin(-a^2y+y)+4a) / Pi = x^2
spätestens aber nach dieser
Wurzel(arcsin(-a^2y+y)+4a) / Pi = x
die Rechnung beenden und schreiben, dass es keine eindeutige Umkehrfunktion gibt?
Daraus wiederum:
-y(a2 - 1) >= -1
ODER
-y(a2 - 1) g(x) = \sin(x). Dann hat g keine Umkehrfunktion. Die Umkehrrelation kann man aber aus mehreren Funktionen zusammenbauen:
g^{-1*}(y)={ \arcsin(y), \arcsin(y) + 2 \pi, …, \arcsin(-y)+\pi, \arcsin(-y)+\pi+2\pi, …
Wenn die Aufgabenstellung lautet, die Umkehrfunktion zu bilden, kannst du an der Stelle abbrechen, an der du gezeigt hast, dass die Funktion nicht injektiv ist, also zu einem gegebenen y mehrere x existieren.
Nico
Ehm, richtig. Da müsste UND hin. Muss beides gleichzeitig gelten. Den Nutzen aus den den „mehreren Funktionen“ versteh ich grad nicht so, weil auch jede „Teilfunktion“ ihren Definitionsbereich bekommt, aber ist ja auch nicht mein thread 