Hallo zusammen, habe folgende Aufgabe:
„Sei f(x)=3x²-2x+5. Bestimmen Sie die maximalen Bereiche, auf denen f umkehrbar ist. Geben sie die Umkehrfunktionen an.“
f´(x)= 6x-2
Daraus schließe ich erstmal dass für Werte kleiner 1/3 die Funtkion monoton fallend ist und größer 1/3 monoton steigend.
Wie bestimme ich aber jetzt die Umkehrfunktion von f(x) für Zahlen größer(kleiner) als 1/3.
Denn eine Umkehrfunktion von f(x) ist leider nicht möglich.
Vielen Dank
Hallo zusammen
Hallo Dennis!
„Sei f(x)=3x²-2x+5. Bestimmen Sie die maximalen Bereiche, auf
denen f umkehrbar ist. Geben sie die Umkehrfunktionen an.“f´(x)= 6x-2
Daraus schließe ich erstmal dass für Werte kleiner 1/3 die
Funtkion monoton fallend ist und größer 1/3 monoton steigend.
Das stimmt schon mal.
Wie bestimme ich aber jetzt die Umkehrfunktion von f(x) für
Zahlen größer(kleiner) als 1/3.
Die Umkehrfunktion bekommst eigentlich immer folgendermaßen. Du ersetzt f(x) durch y. Dann versuchst du x durch y auszudrücken, und schließlich tauscht du noch die Variablen.
Bei deinem Beispiel sieht das dann so aus.
f(x)=3x^2-2x+5
Zuerst also f(x) durch y ersetzen.
y=3x^2-2x+5
y auf beiden Seiten abziehen, damit man dann mit Hilfe der Mitternachtsformel x durch y ausdrücken kann.
3x^2-2x+5-y=0
x_{1/2}=\frac{2\pm\sqrt{4-12(5-y)}}{6}=\frac{1}{3}\left(1\pm\sqrt{1-3(5-y)}\right)
Nachdem du x und y tauscht erhälst du für x≥1/3 also die Umkehrfunktion
g(x)=\frac{1}{3}\left(1+\sqrt{1-3(5-x)}\right)
und für x≤1/3
g(x)=\frac{1}{3}\left(1-\sqrt{1-3(5-x)}\right)
Gruß,
hendrik