Und noch mal Hilberts Hotel

Freizeit & Hobby Rätsel
#1

Hallo!

Nehmen wir noch mal Hilberts Hotel mit unendlich vielen Zimmern. In jedem Zimmer wohnt eine Mutter. Jede Mutter hat zwei Kinder. Weil die Mütter in dem Hotel sind, um Urlaub zu machen, beschließt der Direktor, die Kinder neu aufzuteilen. Pro Zimmer soll es nur ein Kind geben. Da die Mengen aller Zimmer, aller Mütter und aller Kinder gleich groß und gleich mächtig sind, ist das möglich. Damit die Kinder gerecht verteilt sind, verteilt er sie so, dass kein Kind bei seiner eigenen Mutter ist. Nun fängt ein Kind an, zu weinen, weil es zu seiner Mutter will. Der Direktor erlaubt es, zu seiner Mutter zu gehen. Nun hat diese zwei Kinder, ihr eigenes, und ein fremdes. Der Direktor sagt, das fremde Kind solle ebenfalls zu seiner Mutter gehen. Aber dann hat die ein Kind zu viel. Er setzt den Austausch also fort, wobei jeweils immer nur ein Kind ins Zimmer kommt und eins geht, so dass die Zahl der Kinder pro Zimmer bei einem bleibt. Nachdem dieser Vorgang unendlich oft durchgeführt wurde, ist jedes Kind bei seiner Mutter, aber trotzdem hat jede Mutter nur ein Kind. Plötzlich rufen unendlich viele aufgebrachte Mütter beim Direktor an und fragen, wo ihr zweites Kind sei.

Wie ist das möglich?

Ist auch das damit zu erklären, dass bei einem unendlichen Hotel mathematisch einiges anders ist, als bei einem endlichen?

Oder habe ich vielleicht einfach nur, weil mir nach Scherzen zumute war, absichtlich einen Denkfehler eingebaut? Wenn ja, welchen?

Grüße

Andreas

#2

Hallo ebenso!

Damit die Kinder gerecht
verteilt sind, verteilt er sie so, dass kein Kind bei seiner
eigenen Mutter ist. Nun fängt ein Kind an, zu weinen, weil es
zu seiner Mutter will. Der Direktor erlaubt es, zu seiner
Mutter zu gehen. Nun hat diese zwei Kinder, ihr eigenes, und
ein fremdes.

Außerdem sollten wir nicht vergessen, dass es nun eine Mutter M gibt , bei der kein Kind mehr im Zimmer ist (nämlich die, der das Kind zu weinen anfing).

Der Direktor sagt, das fremde Kind solle
ebenfalls zu seiner Mutter gehen. Aber dann hat die ein Kind
zu viel. Er setzt den Austausch also fort, wobei jeweils immer
nur ein Kind ins Zimmer kommt und eins geht

Falsch, früher oder später (nach endlich vielen Schritten) wird die Austausch-Kette auf eines der Kinder von M stoßen; sobald dieses zu seiner Mutter zurückgekehrt ist, stoppt die Neuverteilung der Kinder.

Jetzt haben also endlich viele Mütter genau eines ihrer Kinder im Zimmer, aber abzählbar unendlich viele genau ein fremdes. Unter diesen unendlich vielen Müttern ist genügend Platz, um auch die zweiten Kinder der ersten Gruppe zu betreuen, und keine Mutter muss sich Sorgen machen.

Ich hoffe, ich selbst hatte jetzt keinen Denkfehler …

Andreas

#3

Richtige Lösung!
Hallo ebenso!

Richtig geraten!

Falsch, früher oder später (nach endlich vielen Schritten)
wird die Austausch-Kette auf eines der Kinder von M stoßen;
sobald dieses zu seiner Mutter zurückgekehrt ist, stoppt die
Neuverteilung der Kinder.

Genau. Das ist der absichtlich eingebaute Denkfehler.

Grüße

Andreas

#4

bin ich zu dumm dafür?
Aber ich versteh noch 3 dinge nicht:

1.) Wenn die umverteilung aufhört sobald die Mutter M, bei der das 1.kind anfing zu weinen wieder ihr eigenes hat, dann muss nicht zwangsläufig jede mutter ihr eigenes haben, per zufall kann das nach dem 1. tausch passieren, oder?

2.) wenn nicht, wonach wird dann ausgewählt welches der beiden kinder zu seiner mutter darf und welches nicht?

3.) wenn dann jede mutter nur noch ein kind hat, gab es dann anfangs genausoviele kinderlose mütter in dem hotel wie kinder mit müttern?

ich glaub die einzige lösung besteht darin das es nicht mehr als unendlich gibt von daher sind 2xunendlich auch wieder nur unendlich. Dann kann man auch sagen, wenn unendlich viele mütter jeweils ein kind haben und eine bekommt ein zweites hinzu verteilt man solange um bis wieder alle nur 1 haben, weil man unendlich viele mütter und kinder hat, weil es kein unendlich+1 gibt. Ist das so gedacht?

#5

Hallo!

1.) Wenn die umverteilung aufhört sobald die Mutter M, bei der
das 1.kind anfing zu weinen wieder ihr eigenes hat, dann muss
nicht zwangsläufig jede mutter ihr eigenes haben, per zufall
kann das nach dem 1. tausch passieren, oder?

Ja. Das ist ja der absichtliche Fehler, den ich eingebaut habe.

2.) wenn nicht, wonach wird dann ausgewählt welches der beiden
kinder zu seiner mutter darf und welches nicht?

Wenn ein Kind zu seiner Mutter kommt, gibt die Mutter das fremde, das bei ihr ist, weg. Das darf dann wiederum zu seiner Mutter und so weiter.

3.) wenn dann jede mutter nur noch ein kind hat, gab es dann
anfangs genausoviele kinderlose mütter in dem hotel wie kinder
mit müttern?

Nein. Anfangs gab es 2 x unendlich viele Kinder. Hinterher gibt es nur noch 1 x unendlich viele Kinder. Aber: 2 x unendlich ist genauso viel, wie 1 x unendlich.

ich glaub die einzige lösung besteht darin das es nicht mehr
als unendlich gibt von daher sind 2xunendlich auch wieder nur
unendlich.

Richtig (Mit „unendlich“ ist in diesem Fall natürlich „abzähbar unendlich“ gemeint).

Dann kann man auch sagen, wenn unendlich viele
mütter jeweils ein kind haben und eine bekommt ein zweites
hinzu verteilt man solange um bis wieder alle nur 1 haben,
weil man unendlich viele mütter und kinder hat, weil es kein
unendlich+1 gibt. Ist das so gedacht?

Ja.

Grüße

Andreas