Und was bitte ist dann deine These?
Das kann ich dir erst sagen, wenn ich sie fertig formuliert
habe.
Da bin ich ganz ehrlich gespannt.
In der Zwischenzeit hätte ich gerne gewusst, ob es bei den
oben genannten Strecken eine Strecke gibt, die genau in der
Mitte liegt.
Das kommt darauf an, ob du das mittlere Drittel einer Strecke „da lässt“. Aber ich glaube, du „zerschneidest“ die Strecke immer, d.h. der ursprünglich mittlere Meter bleibt nicht enthalten usw.
Mit Intervallen betrachtet/formuliert:
Deine ursprüngliche Strecke ist das Intervall [0,3]. Jetzt definieren wir a_0 als 0 und b_0 als 3.
D.h. [0,3] = [a_0,b_0]
Das sei I_0.
Jetzt definieren wir rekursiv:
I_k := [a_k,b_k] = \left[\frac{2a_{k-1}+b_{k-1}}2,\frac{a_{k-1}+2b_{k-1}}2\right]
Das sind Intervalle, die immer das mittlere Drittel des vorigen Intervalls sind.
Nach der Intervallschachtelung ist 1,5 der einzige Punkt, der in allen Intervallen enthalten ist.
Eine Strecke, die in der Mitte liegt, muss also 1,5 enthalten. Bisher ist das bei allen Intervallen der Fall, aber die Strecken werden ja nicht beibehalten; wir definieren:
S_k := I_K \setminus I_{k+1}
Da I_{k+1} 1,5 enthält, ist dies für S_k nicht der Fall. Und wenn man S_k jetzt noch halbiert, hat man deine Strecken.
Alternative Vorstellung: Du nimmst dir eine Strecke, in der die Mitte bereits fehlt. Also die Intervalle [0,1] und [2,3] vereinigt. Jetzt fügst du in die Mitte zwei Strecken so ein, dass sie an die äußeren Strecken angrenzen und jeweils ein Drittel der Lücke füllen. Hier gibt es natürlich auch keine Strecke, die den Punkt in der Mitte enthält.
mfg,
Che Netzer
