Unendl. wiederholte Drittelung einer Strecke

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo!

Ich denke eine Strecke von z.B. drei Metern Länge. Sie besteht aus drei Dritteln. Das mittlere Drittel besteht wieder aus drei Dritteln. Und davon das mittlere Drittel ebenso. Und immer so weiter. Die Strecke besteht also aus unendlich vielen Teilstrecken. Die erste dieser Teilstrecken ist ein Meter lang. Darauf folgen unendlich viele weitere Strecken, von denen die letzte wieder ein Meter lang ist. Kann man korrekterweise so formulieren?

Grüße

Andreas


–––––––––––––––––
MOD: Titelzeile veraussagekräftigt.

#2

Ich denke eine Strecke von z.B. drei Metern Länge. Sie besteht
aus drei Dritteln. Das mittlere Drittel besteht wieder aus
drei Dritteln. Und davon das mittlere Drittel ebenso. Und
immer so weiter. Die Strecke besteht also aus unendlich vielen
Teilstrecken. Die erste dieser Teilstrecken ist ein Meter
lang. Darauf folgen unendlich viele weitere Strecken, von
denen die letzte wieder ein Meter lang ist. Kann man
korrekterweise so formulieren?

Ich würde eher sagen „wird gedrittelt“ bzw. „wird in drei gleichlange Teilstrecken aufgeteilt“ statt „besteht aus drei Dritteln“. Der Rest ergibt sich dann
(Grammatik nicht berücksichtigt…)

mfg,
Che Netzer

PS: Was soll das denn werden, wenn’s fertig ist? Eine Art cantorsches Diskontinuum?

#3

Hallo!

Danke für die schnelle Antwort!

PS: Was soll das denn werden, wenn’s fertig ist? Eine Art cantorsches Diskontinuum?

Ich habe ein Buch über Cantor, in dem auch Hilberts Hotel vorkommt. Dort steht, wenn ein Hotel unendlich viele Zimmer hätte, gäbe es kein letztes Zimmer.

Grüße

Andreas

#4

Moin,

Dort steht, wenn ein Hotel unendlich viele Zimmer
hätte, gäbe es kein letztes Zimmer.

was ja auch stimmt.
Das ergibt sich zwanglos aus dem Nachfolgeraxiom

Gandalf

#5

Hallo Gandalf!

Auch, wenn etwas stimmt, also unwiderlegbar ist, verbietet es niemand, die Widerlegung trotzdem zu versuchen.

Genau das habe ich mit den Teilstrecken versucht, und deshalb habe ich extra gefragt, ob man es so formulieren kann, dass es also eine erste Strecke gibt, auf die unendlich viele folgen, und es trotzdem eine letzte gibt.

Wenn da ein Denkfehler drin ist, was ich vermute, und du ihn gefunden hast, teile es uns mit.

Grüße

Andreas

#6

Moin,

auf die unendlich viele folgen,
und es trotzdem eine letzte gibt.

nimm eine beliebig große Zahl und bilde den Kehrwert.
Du erhälst eine beliebig kleine Zahl.
Nimmst Du den Nachfolger der beliebig großen Zahl ist die wieder etwas größer und der Kehrwert etwas kleiner …

Klar?

Gandalf

#7

Wenn da ein Denkfehler drin ist, was ich vermute, und du ihn
gefunden hast, teile es uns mit.

Der könnte im „letzte Teilstrecke liegen“. „letzte“ heißt für mich, dass man die Strecken allesamt durchgeht und irgendwann irgendwo ankommt, von wo aus nicht weiter geht. Bei deinem Beispiel kommt man aber nie auf der „letzten“ Strecke an.
Ansonsten hätte ich ein einfacheres Beispiel:
Alle rationalen Zahlen zwsichen (und einschließlich) 0 und 1.
(Da könnte man höchstens eine größte bestimmen, was aber wohl nicht Sinn der Sache ist)

mfg,
Che Netzer

#8

Hallo!

Bei deinem Beispiel kommt man aber nie auf der „letzten“ Strecke an.

Stimmt.

Ansonsten hätte ich ein einfacheres Beispiel: Alle rationalen Zahlen zwsichen (und einschließlich) 0 und 1.

Daran hatte ich auch schon gedacht. Aber die lassen sich nicht der Reihe nach abzählen.

Grüße

Andreas

#9

Hallo Gandalf!

Klar?

Klar.

Grüße

Andreas

#10

Moin,

Aber die lassen sich nicht
der Reihe nach abzählen.

Jain,

die Mächtigkeit dieser Menge ist (nach Cantor) abzählbar unendlich.
Die Mächtigkeit der reelen Zahlen zwischen 0 und 1 ist hingegen überabzählbar unendlich.

Gandalf

#11

Ansonsten hätte ich ein einfacheres Beispiel: Alle rationalen Zahlen zwsichen (und einschließlich) 0 und 1.

Daran hatte ich auch schon gedacht. Aber die lassen sich nicht
der Reihe nach abzählen.

Doch: http://de.wikipedia.org/wiki/Cantors_erstes_Diagonal…

Oder, wenn es dir dann beim Abzählen einfacher erscheint:
{0}\cup{\tfrac1n\vert n\in\mathbb N}
Das wäre ein Ausschnitt aus der Menge [0,1]\cap\mathbb Q, also dem ersten Beispiel.

mfg,
Che Netzer

#12

Hallo!

Danke der Mühe, das ist nichts neues, ich schrieb schon, ich hätte ein Buch über Cantor.

Natürlich sind sie abzählbar. Ebenso wie die von Gangalf.

Aber nicht DER REIHE NACH. Darum ging es mir.

Grüße

Andreas

#13

Hallo Gandalf!

die Mächtigkeit dieser Menge ist (nach Cantor) abzählbar
unendlich.

Ist klar.

Die Mächtigkeit der reelen Zahlen zwischen 0 und 1 ist
hingegen überabzählbar unendlich.

Auch klar.

Grüße

Andreas

#14

Natürlich sind sie abzählbar. Ebenso wie die von Gan d alf.

Aber nicht DER REIHE NACH.

Deine Strecken doch auch nicht.
Außerdem kann man die zweite von mir genannte Menge der reihe nach abzählen, so dass jedes Element kleiner als das vorige ist.
Oder man nimmt {1-\tfrac1n}\cup{1}
Dort kann man auch nach oben zählen.

mfg,
Che Netzer

#15

Hallo!

Deine Strecken doch auch nicht.

Darüber möchte ich jetzt nicht diskutieren.

Ich frage mich vielmehr, was wäre, wenn Hilberts Hotel so aufgebaut wäre, wie die Strecken.

Grüße

Andreas

#16

Deine Strecken doch auch nicht.

Darüber möchte ich jetzt nicht diskutieren.

Oho…

Ich frage mich vielmehr, was wäre, wenn Hilberts Hotel so
aufgebaut wäre, wie die Strecken.

Dann würden die Zimmer irgendwann ziemlich klein werden. Ich weiß gerade nicht genau, worauf du hinaus möchtest…

mfg,
Che Netzer

#17

Hallo auch…

Dann würden die Zimmer irgendwann ziemlich klein werden. Ich
weiß gerade nicht genau, worauf du hinaus möchtest…

Wenn Sie dann mal hier schauen mögen:
/t/unendlichkeit–4/6535238

Wäre nicht das erste mal, dass hier Informationen zum Sachverhalt eingeholt werden, nachdem da unten 3 Wochen hin und her diskutiert wurde, ob - und wenn ja, in welchem Umfang und welche - Naturgesetze für die Lösung ausschlaggebend sind oder außer Kraft gesetzt werden müssten.
Ich persönlich enthalte mich jeden Kommentars und jeder Wertung.

Gruß
KB

#18

Hallo!

Das ist was völlig anderes.

Unterschiede:

Die Reihe unten ist der Reihe nach vollständig abzählbar. Die hier ist entweder vollständig abzählbar, dann aber nicht der Reihe nach, oder der Reihe nach abzählbar, dann aber nicht vollständig.

Die Reihe unten hat ein erstes Teilstück aber kein letztes. Die hier hat ein erstes und ein letztes.

Die Reihe unten verliert sich seitlich im Unendlichen, diese hier in der Mitte.

Die Reihe unten ist vergleichbar mit Hilberts Hotel, diese hier nicht.

Grüße

Andreas

#19

Hallo!

Dann würden die Zimmer irgendwann ziemlich klein werden.

Spielt keine Rolle.

Ich weiß gerade nicht genau, worauf du hinaus möchtest…

Auf eine Frage, die ich noch nicht stellen möchte, weil ich noch nicht weiß, wie ich sie formulieren soll.

Grüße

Andreas

#20

Dann würden die Zimmer irgendwann ziemlich klein werden.

Spielt keine Rolle.

Na dann bewohne du mal ein Zimmer mit 5 cm² Bodenfläche…

Ich weiß gerade nicht genau, worauf du hinaus möchtest…

Auf eine Frage, die ich noch nicht stellen möchte, weil ich
noch nicht weiß, wie ich sie formulieren soll.

Und wozu war dann diese ganze Diskussion hier gut?
Versuch doch einfach, die Frage zu stellen, so wie du sie jetzt formulieren würdest.

mfg,
Che Netzer