Das ist ein klassischer Fall der „Geschäftsführung ohne Auftrag“ nach §§ 677, 683 (Aufwendungsersatz) BGB. Da hier ein Abwarten auf ordentliche Beauftragung des Besitzers aufgrund der Schwere der Verletzungen der Katze nicht opportun war, musste der behandelnde Arzt dem „mutmaßlichen Willen des Besitzers“ der Katze folgend entscheiden, wie er mit dem Tier in dieser Situation umgehen sollte. Es liegt dabei grundsätzlich nahe, dass ein gechipptes Tier seinem Eigentümer viel bedeutet und dieser insoweit bei Verletzungen eine angemessene Behandlung wünschen würde. D.h. die „Geschäftsführung“ durch Behandlung dem mutmaßlichen Willen des Halters entspricht. Insoweit hätte der Arzt dann auch Anspruch auf Aufwendungsersatz für diese Behandlung.
Allerdings haben wir es hier angesichts der Schwere der Verletzungen andererseits natürlich auch mit einem Grenzfall zu tun, bei dem ein Arzt sich die Frage stellen muss, ob ein Tierhalter wirklich jede auch noch so teure Behandlung wünschen würde, wenn das Tier ein hohes Risiko eines baldigen Versterbens trotz Behandlung aufgrund der Schwere der Verletzungen trägt und/oder das Tier trotz Behandlung auf Dauer unter massiven Folgen leiden muss und ggf. kein artgerechtes Leben mehr führen kann.
An solche Überlegungen und das Gewicht der entsprechenden Argumente sollte man jedoch angesichts der Unumkehrbarkeit einer Entscheidung gegen eine Behandlung und für eine Euthanasie keine zu großen Anforderungen stellen. D.h. man wird dem Arzt zubilligen müssen - auch zum eigenen Schutz - im Zweifelsfall eher für eine Behandlung zu optieren als sich später den Vorwurf gefallen lassen zu müssen, ein Tier ohne Einwilligung des Halters getötet zu haben,
Insoweit sehe ich - bei allen berechtigten Argumenten für eine abweichende Entscheidungsvariante - hier schon einen Anspruch auf Aufwendungsersatz.
BTW: Denjenigen, der das Tier beim Tierarzt abgeliefert hat, habe ich hier mal ganz raus gelassen, da hier keinerlei Hinweis auf eine Beauftragung des Arztes durch diese Person gegeben wurde. Insoweit bin ich davon ausgegangen, dass der Tierarzt hier alleine entschieden hat, die Behandlung durchzuführen.