Deine Überschrift passt schon mal nicht zur Schilderung. Die Verstopfung liegt in dem durch die Badewanne genutzten Fallrohr unterhalb eines nicht genutzten Küchenanschlusses. Daher kommt es zum Rückstau, der bis in den tatsächlich nicht verstopften Küchenanschluss reicht und bei ausreichender Wassersäule im Abfluss der Badewanne oberhalb dann den Stöpsel in der Küche rausdrückt.
Wurde die Badewanne erst kürzlich nach längerer Nichtbenutzung wieder in Betrieb genommen? Dann kann es sein, dass Ablagerungen im Rohr in der Zwischenzeit getrocknet und spätestens bei erneuter Nutzung dann in sich zusammengebrochen sind, und jetzt das Rohr verstopfen. Bei Gussrohren kann es sich auch gerne um größere Mengen Rost handeln, der in wenig/zwischenzeitlich nicht genutzten Rohren gut gedeiht.
Das sind alles Dinge/Mengen, bei denen man mit chemischen Mitteln normalerweise nicht weiter kommt. Auch eine kleine Handspirale bringt einen da eher nicht weiter. Da braucht es dann den Rohrreiniger mit der Motorspirale und ggf. einer Fräse. Alternativ kann man es auch mit einem Hochdruckreiniger mit entsprechendem Rohrreinigungszubehör versuchen. Das ist mein Mittel der Wahl, das ich mir vor Jahren schon für bezahlbares Geld zugelegt habe, und seit dem so einige Male erfolgreich im Einsatz hatte/inzwischen auch regelmäßig prophylaktisch nutze.