Hallo Forum
Ich habe in Analysis eine Aufgabe bekommen, bei der ich nicht so genau weiß, wie ich an die Fragestellung rangehen soll.
Ich soll aus den Körper- und Anordnungsaxiomen diese Ungleichung ableiten:
la+ (1/a)l >= 2
Ich denke mir, ich muss mir da ein passendes Axiom raussuchen, und dieses dann geschickt umstellen, sodass ich letztendlich auf diese Ungleichung komme?
Das wäre die einzige Möglichkeit, die mir momentan im Kopf herumschwirrt.
Ich bin für Starthilfe sehr dankbar.
Viele Grüße
Hi,
überlege, warum das zu |a|+1/|a|>=2 äquivalent ist und führe auf (|a|-1)^2>=0 zurück.
Gruß Lutz
Hi,
die Denkweise „passendes Axiom raussuchen“ erinnert an Formelsammlung. Das ist in diesem Falle m. E. kein zielführender Ansatz.
Die erste Idee, die bereits von Lutz angesprochen wurde, ist die Auflösung der Betragstriche. Die sind immer ein bisschen blöd. Daher geht man gerne hin und führt eine Fallunterscheidung durch. Für a >= 0 kann ich die Betragsstriche einfach weglassen, für a =0 untersuchen und dann verallgemeinern. a=0 ist wegen 1/a natürlich nicht zugelassen.
Die Körper- und Anordnungsaxiome sind vereinfacht gesprochen unsere normalen Rechengesetze. Dass diese hier jetzt explizit verwendet werden sollen bedeutet nur, dass du z. B. schreibst (Betragstriche weggelassen wg. Fall I: a>0)
a + 1/a >=2 ist äquivalent zu a^2 + 1 >= 2a, weil du
usw.
Im Prinzip sollst du also zeigen, dass du weißt warum du so rechnen darfst. wie du normalerweise rechnest.
Mfg
FHL
Ach so, die zwei l (Kleinbuchstaben L) sollten Betragsstriche (||) sein…!
(Ich wäre aber zugegebenermaßen sonst auch nicht auf die Umformung
a+\frac{1}{a} \ge 2 \Leftrightarrow a^2 + 1 \ge 2a \Leftrightarrow (a-1)^2 \ge 0
gekommen.)