Unlogische Integration

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo Mitglieder!
Ich gebe in Mathematik Nachhilfe und bei der Integration von Funktionen stehe ich nun vor dem unlogischen Problem:

int((2*x+1)^2) dx = ((2*x+1)^3)/3 * (1/2) => klar
int((2*x+1)^3) dx = ((2*x+1)^4)/4 * (1/2) => klar
int((2*x+1)^4) dx = ((2*x+1)^5)/5 * (1/2) => klar

Jetzt dachte ich mir, als 2te Möglichkeit könnte man ja im ersten Bsp. die Binomische Formel zuerst ausrechnen und im Anschluss dann integrieren.

also:

int((2*x+1)^2) dx = int(4x^2+4x+1) dx =>
(4x^3)/3 + (4x^2)/2 + x

Stimmt aber nicht! Kann mir bitte jemand sagen warum?

Anderersits ist die 2te Möglichkeit bei einer nicht linearen Innenfunktion gültig und die erste nicht!

also bei:

int((2*x^2+1)^2) dx = ((2*x^2+1)^3)/3 * (1/4) => falsch

Hier muss man unlogischerweise die Binomische Formel zuerst anwenden und erst dann integrieren.

int((2*x^2+1)^2) dx = int(4x^4+4x^2+1) dx =>
(4x^5)/5 + (4x^3)/3 + x

Warum?

Vielen Dank bereits im Voraus!

LG, Philipp mehr…

#2

Hallo,

es stimmt alles:

\int (2x+1)^2 :dx
\stackrel{\ast}{=}
\frac{1}{3} (2x+1)^3 \cdot \frac{1}{2}
= …
= \frac{4}{3} x^3 + 2x^2 + x + \frac{1}{6}

\int (4x^2+4x+1):dx
\stackrel{\ast}{=}
4\cdot \frac{1}{3} x^3 + 4 \cdot \frac{1}{2} x^2 + x
= \frac{4}{3} x^3 + 2x^2 + x

Beide Ergebnisse sind Stammfunktionen von (2x + 1)2, auch wenn sie nicht identisch sind. Um eine additive Konstante wie hier 1/6 dürfen sich Stammfunktionen schließlich unterscheiden.

Stellt sich jetzt natürlich die Frage, welche Gleichheitszeichen in der obigen beiden Rechnung strenggenommen nicht stimmen. Es sind die mit „*“ markierten. Jeweils links davon steht eine Menge von Funktionen, nämlich die Menge aller Stammfunktionen des Integranden, aber rechts davon jeweils nur ein Element aus dieser Menge. Dorthin darf man also eigentlich kein Gleichheitszeichen schreiben.

Gruß
Martin

#3

Hi,

wenn man das unbestimmte Integral bildet muss man hinter die Stammfunktion die unbekannte Konstante c, die beim ableiten weg fällt, hinter klemmen. Dann ist es tatsächlich ein Gleichheitszeichen. Damit man nicht auf die Idee kommt es wäre das selbe c muss man in den verschiedenen Umformungen verschiedene c’s, also c1 und c2, verwenden.

MFG

#4

Hallo,

das hört sich richtig an, kann tatsächlich aber genauso eine Quelle von Verwirrung sein. Denn wenn Du

\int (2x+1)^2 :dx
= … = \frac{4}{3} x^3 + 2x^2 + x + \frac{1}{6} + C_1

\int (4x^2+4x+1):dx
= … = \frac{4}{3} x^3 + 2x^2 + x + C_2

schreibst, sagst Du damit indirekt, dass

C_2 - C_1 = \frac{1}{6}
\quad\quad[*]

ist, weil das, was die beiden Integrale bezeichnen, identisch ist. Somit ließe sich die ziemlich spezielle Aussage [*] aus einer allgemeingültigen Aussage, nämlich ∫ (2x + 1)2 dx = ∫ (4x2 +4x +1) dx folgern, und das wirft sofort die Frage nach der Bedeutung von [*] auf. Hat es eine oder keine? Wenn ja, welche? Wenn nein, warum ist es dann gerade C2 – C1 = 1/6 und nicht etwa C2 – C1 = 3/8? Wie Du siehst, ist auch die Sache mit dem „plus C“ alles andere als unproblematisch.

Eine saubere Darstellung gibt es übrigens – sie wird nur von niemandem verwendet:

(2x+1)^2
= \Big(\frac{4}{3} x^3 + 2x^2 + x + \frac{1}{6}\Big)’
= \Big(\frac{4}{3} x^3 + 2x^2 + x\Big)’

4x^2+4x+1
= \Big(\frac{4}{3} x^3 + 2x^2 + x\Big)’

Hierin sind alle „=“ echt.

Gruß
Martin