Unterräume beweisen

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo ich hab hier golgende Aufgabe:

Seien _ V _ und _ W _ Vektorräume über einem Körper K,
und sei _ U _ ein Unterraum von _ W _.

Sei _ f: V --> W _ eine lineare Abbildung.

Beweisen Sie, dass S = {v \ \in V \ | \ f(v) \in \ U } ein Unterraum von _ V _ ist.

Ich sehe hier nichts was ich beweisen müsste?

Da _ S _ ja die Menge ist die, _ v _ Elemente beinhaltet ist klar das _ S _ ein Uterraum von V ist. Oder Nicht?

Oder muss ich beweisen das f(v) \in \ U } gilt?

Das wäre für mich aber auch irgendie klar da ja f(v)= Bild(f) ist es ja auch hier eindeutig das f(v) in _ U _ liegt.

So einfach kann die Aufgabe nicht sein, ich verstehe hier irgendentwas falsch.

Danke schonmal

#2

nicht mein thema, sorry!! viel erfolg bei der lösung.

#3

Hallo.

Du hast gegeben: V und W Vektorräume und U Unterraum von W.

Nun sollst Du für diejenigen Werte von V, für die gilt, dass Ihr Bild in U liegt, zeigen, dass diese Werte einen Unterraum von V aufspannen.

Daher musst Du die lineare Abbildung betrachten, für die gilt: f: V->W und hier insbesondere, was gilt, wenn es nicht nach W, sondern nach U geht (also IN den Unterraum von W „hinein“).

Alles klar?

#4

Hallo,

hier muss man die 3 Kriterien beweisen:

  1. 0 in S
  2. wenn u und v in S dann auch u+v
  3. für alle lambda in K ist auch lambda * u in S
    wenn u in S ist.

http://de.wikipedia.org/wiki/Unterraum

zu 1)

Sie v in V dann ist auch 0 * v in V. (da V ein Vektorraum ist)

also ist f(0*v) in S. f(0*v) = 0 * f(v) = 0 (da f linear ist)
Also ist 0 in S.

Wenn linearität von f gilt hier immer f(a x + b y) =
a * f(x) + b * f(y) .

Hiermit kann man auch Punkt 2 und 3 zeigen.

#5

hi,

Also eine Teilmenge ist nicht gleich ein Unterraum ( Untervektorraum). Du musst zeigen, dass das auch ein Vektorraum ist.
Also beweise alle Bedingungen für die Elemente aus S, die S erfüllen muss um ein Vektorraum zu sein. Dabei musst du wahrscheinlich ausnutzen, dass f linear ist.
Ich hoffe, ich konnte helfen.
Gruß

#6

Hallo,
tut mir leid, da muss ich passen. Ich hoffe, du findest noch einen Experten.
Viele Grüße
Norbert

#7

Du musst diesbezüglich systematisch vorgehen:
Zunächst musst du dir die Definition des Begriffs „Unterraum“ ansehen und dann formal überprüfen, ob alle Definitionen von der hier dargestellten Behauptung erfüllt werden.

Insbesondere muss man darauf eingehen, dass f eine lineare Abbildung ist. Wenn f keine lineare Abbildung wäre, so könnte es sein, dass S die leere Menge ist, oder eine Menge, die kein Nullelement enthält und somit kein Vektorraum wäre.

Ich hoffe diese Anregungen helfen dir bei deinen Überlegungen weiter.

#8

Sorry, bin leider überfragt!

#9

Also, zunächst beinhaltet S nur die v \ \in \ V für die gilt f(v) \ \in \ U .
Nun wäre S ein Unterraum von V , falls S mit den Eigenschaften von V selbst einen Vektorraum darstellt.
Hierzu musst du beweisen, dass:

  • 0 \ \in \ S

  • für s_1, s_2 \ \in \ S gilt s_1 + s_2 \ \in \ S

  • und für \lambda \ \in \ K, s \ \in \ S gilt \lambda \cdot s \ \in \ S

Hierzu kannst du auf die Linearität von f(v) zurückgreifen.

#10

hallo

vektorräume: null checkung darüber - sorry kann ich nicht mit helfen.
eine „anständige“ kurvendiskussion ok, aber „sowas“ kann ich nicht

lg

ralf

#11

Du, ich war verreist. Wenn die Aufgabe immer noch aktuell für Dich ist, melde Dich noch mal bei mir !
Gruß von Max

#12

warum kann man nicht in das Antworten Forum kommen? …
Deswegen muss ich eine Antwort schreiben. Sorry