Unterschied Wiener Prozess und geometrische Brownsche Bewegung

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo zusammen,

kann mir jemand von euch den Unterschied zwischen dem Wiener Prozess (meines Standes nach gleichbedeutend mit arithmetische Brownsche Bewegung) und der geometrischen Brownschen Bewegung erklären, Bei uns im Skript heißt es dazu nur „Ein stochastischer Prozess, bei dem die Verteilung der prozentualen Veränderungen (Renditen) und nicht die Verteilung der absoluten Veränderungen (wie beim allgemeinen Wiener-Prozess) unabhängig vom jeweiligen Ausgangswert ist.“

Ich muss gestehen, dass ich diese Formulierung nicht ganz verstehe.
Ist mit unabhängig vom Ausgangswert gemeint, dass es sich dabei um eine Verteilung ohne Gedächtnis handelt?
Wie kann etwas zahlenmäßig abweichen ohne prozentual abzuweichen?

Vielen Dank schonmal fürs lesen
Dirk

#2

Hallo,
nimm z.B. 17, 18, 17, 16, 17, die Verteilung der absoluten Veränderungen: +1, -1, -1, +1.
Dann noch 117, 118, 117, 116, 117, die Verteilung ist wieder +1, -1, -1, +1. Du siehst, die Differenzen sind unabhängig vom Ausgangswert.

Dagegen schau Dir die Renditen an, für den ersten Fall: +5.88%, -5.55%, -5.88%, +6.25%.
für den zweiten Fall jedoch: +0.85%, -0.84%, -0.85%, +0.86%. Hier sieht man, daß gleiche absolute Veränderungen sehr unterschiedliche Renditen haben, je nach Anfangswert.

Wollten wir die Brownsche Bewegung des ersten Falls mit dem Anfangswert des zweiten Falls „nachspielen“, dann ergäbe sich: 117, 123.88, 117, 110.12, 117.

Einfacher zu verstehen wäre hier, die Originalzeitreihe mit einem festen Wert zu multiplizieren, damit würden wir die Renditen natürlich nicht verändern, z.B. 170, 180, 170, 160, 170 (kannst Du selbst nachrechnen). Und genau in diesem Sinne ist die geometrische Brownsche Bewegung ein stochastischer Prozeß, bei dem die Renditen unabhängig vom Anfangswert sind.

#3

Hallo,

vielen Dank. Die Antwort ist so klar verständlich, dass die mir die Frage jetzt echt einfach erscheint;)