Hallo,
ich habe einige Aufgaben bzgl. des Themas schon gelöst und wollte fragen, ob ich dies richtig gemacht habe.
Bei einigen Aufgaben komme ich aber nicht ganz weiter.
- Untersuchen Sie, welche der folgenden vier Mengen Untervektorräume von 2 sind.
i)U1 ={(x,y)∈ R^2 |y=x^4},
ii)U2={(x,y)∈ R^2|x>y},
iii)U3 ={(x,y)∈ R^2 |y=−2x},
iv)U4={(x,y)∈ R^2|xy≤0}.
Meine Lösungen:
Also wir müssen ja folgendes zeigen:
(UV1) U≠ ∅
U enthält mindestens ein Element
(UV2) u, v ∈ U =⇒ u + v ∈ U
U ist abgeschlossen gegenüber der Addition
(UV3) u∈U undλ∈K =⇒λu∈U
U ist abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation
i)
(UV1) 0∈U1 Wie kann ich das zeigen? Einfach u=(0,0) wählen und dann y=x^4=0 oder wie genau?
(UV2) Wenn u=(0,0) und v=(0,0), dann geht auch dies.
Oder wenn u=(0,0) und v=(1,1), dann geht auch dies.
Wenn jedoch u=(16,2) und v=(1,1), dann geht dies nicht mehr auf, somit ist es kein UVR.
ii)
(UV1) 0 ist kein Element von U2 (z.B. u=(2,1)) Wie kann ich das noch zeigen?
Somit ist dies kein UVR.
iii)
Ist ein UVR, dies kann man anhand von u=(x,-2x) zeigen.
iv) Hier fällt mir leider kein Bsp. zu ein. Dies ist aber meiner Meinung nach ein UVR.
Hilfe bräuchte ich somit bei i),ii) und iv).
Wäre nett, wenn mir da jemand helfen könnte.
- Es seien U1, U2, U3 Untervektorräume eines K-Vektorraums V . Dann ist auch U := U1 + U2 + U3 = { u1 + u2 + u3 | u1 ∈ U1, u2 ∈ U2, u3 ∈ U3 }
ein Untervektorraum von V . Beweisen Sie, daß folgende drei Bedingungen äquivalent sind:
i) Für jedes u ∈ U ist die Darstellung u = u1+u2+u3 mit u1 ∈ U1,u2 ∈ U2,u3 ∈ U3 eindeutig.
i i ) I s t u 1 + u 2 + u 3 =0 i n U , s o f o l g t u 1 =0 , u 2 =0 u n d
u 3 =0 .
iii) Es ist U1 ∩(U2 +U3) = 0 und U2 ∩U3 = 0.
Zeigen Sie anhand eines Gegenbeispiels, daß die obigen Bedingungen im allgemeinen nicht äquivalent sind zu U1 ∩ U2 ∩ U3 = 0.
Meine Lösungen:
Also man kann ja einfach beweisen aus i) folgt ii), aus ii) folgt iii) und aus iii) folgt i).
Aus ii) folgt iii)
Da ui=0 ist, ist 0 ein Element aus Ui.
Wi := U1+U2+U3, da 0 ein Element aus Ui Wi=0
Somit U1 ∩(Wi-U1), somit U1 ∩(-U1) =0, da ui=0 ist, ist 0 ein Element aus Ui.
Aus i) folgt ii)
ui=0, da ui Element aus Ui und 0 ist ein Element aus Ui.
Somit auch u1+u2+u3=0
Aus iii) folgt i)
Da fällt mir gerade nichts zu ein.
Wie kann man das richtig aufschreiben. Ich weiß, wir müssen dass mit diesen Pfeilen machen, aber ich weiß nie genau, ob ich die auch richtig einsetze.
Kann mir das bitte jemand hier mal zeigen?
Ist das richtig, was ich hier gemacht habe?
Zeigen Sie anhand eines Gegenbeispiels, daß die obigen Bedingungen im allgemeinen nicht äquivalent sind zu U1 ∩ U2 ∩ U3 = 0.
Dazu finde ich leider kein Gegenbeispiel. Welches könnte man denn nehmen?
Vielen Dank im Voraus für Ihre Hilfe.
Liebe Grüße
Lana
