Varianz gleich Null

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo zusammen,

wenn die Varianz einer Zufallsvariable X Null ist (also V(X)=0), dann bedeutet das ja, dass X fast sicher (also mit einer Wahrscheinlichkeit von 1) konstant ist. Auch andersherum kann man sagen: „Die Varianz einer Konstanten ist Null.“

Nun stellt sich mir in einer Klausuraufgabe die Frage, ob das eine für das andere zwingend notwendig ist. Also gibt es eine Konstante, deren Varianz nicht Null ist oder einen Fall, in dem die Varianz zu einer Zva Null ist, welche aber nicht konstant ist? Ist das eine für das andere also jeweils eine hinreichende und notwendige Bedingung? 

Vielen Dank für alle (durchdachten) Antworten!!!

#2

Hallo,
Die Frage klingt für mich recht Philosophisch.

Als Mathematiker würde ich sagen:
-Die Varianz einer Konstanten ist immer null.
-Wenn eine Variable eine Varianz von null aufweißt, ist sie eine Konstante.

Als Physiker sieht das ganze etwas anders aus. Es gibt Konstanten die zwar einen (nach heutigem Wissenstand) konstanten Wert besitzen, aber nicht exakt ermittelt werden können.
Bestes Beispiel: http://de.wikipedia.org/wiki/Gravitationskonstante

mfg armer Tor

#3

Hallo,

Die Frage klingt für mich recht Philosophisch.

für mich klingt sie recht stochastisch. :wink:

-Die Varianz einer Konstanten ist immer null.

Auch wenn die Stochastik nicht unbedingt meine große Liebe ist: Dem stimme ich zu. Der Beweis ist nicht schwer, da der Erwartungswert der Konstanten natürlich die Konstante ist.

-Wenn eine Variable eine Varianz von null aufweißt, ist sie
eine Konstante.

Das ist falsch. Der Fragesteller gibt im Grunde selbst schon fast ein Gegenbeispiel, vergisst es dann aber sofort: Wenn z.B. eine Zufallsgröße fast (!!!) sicher konstant ist, dann ist die Varianz Null.
Nimm folgendes Experiment.
Du wählst per Zufall eine reelle Zahl in einem Intervall (z.B. zwischen 2 und 5). Wenn es die Zahl Pi ist, dann bekommst Du 1 Geld. Wenn es nicht Pi ist, dann musst Du 1 Geld zahlen.
X sei die Zufallsgröße die Angibt wie viel Du verdienst.
Dann ist P(X=1) = 0. Weil die Wahrscheinlichkeit, dass Pi gezogen wird Null ist. Nicht ungefähr Null, sondern genau Null.
Also ist P(X=-1) = 1. Der Erwartungswert von X ist folglich -1. Der Erwartungswert von (X+1)^2 ist Null. Und das ist ja die Varianz.

Aber natürlich ich die Zufallsgröße X nicht konstant.

Als Physiker sieht das ganze etwas anders aus. Es gibt
Konstanten die zwar einen (nach heutigem Wissenstand)
konstanten Wert besitzen, aber nicht exakt ermittelt werden
können.
Bestes Beispiel:
http://de.wikipedia.org/wiki/Gravitationskonstante

Die Frage was der Physiker „exakt“ ermitteln kann führt jetzt aber wirklich in eine philosophische Richtung. :wink:

Beste Grüße
Zwergenbrot

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#4

Hallo,

Die Frage klingt für mich recht Philosophisch.

für mich klingt sie recht stochastisch. :wink:

richtig! :smile:

-Die Varianz einer Konstanten ist immer null.

Auch wenn die Stochastik nicht unbedingt meine große Liebe
ist: Dem stimme ich zu. Der Beweis ist nicht schwer, da der
Erwartungswert der Konstanten natürlich die Konstante ist.

Auch richtig!

-Wenn eine Variable eine Varianz von null aufweißt, ist sie
eine Konstante.

Das ist falsch. Der Fragesteller gibt im Grunde selbst schon
fast ein Gegenbeispiel, vergisst es dann aber sofort: Wenn
z.B. eine Zufallsgröße fast (!!!) sicher konstant ist, dann
ist die Varianz Null.

Und hier liegst du FALSCH! FAST SICHER gibt es nicht. Entweder ist es sicher oder nicht. Ab welchem wert von p ist etwas fast sicher??? Stochastisch gesehen ist es Unsinn!

Nimm folgendes Experiment.
Du wählst per Zufall eine reelle Zahl in einem Intervall (z.B.
zwischen 2 und 5). Wenn es die Zahl Pi ist, dann bekommst Du 1
Geld. Wenn es nicht Pi ist, dann musst Du 1 Geld zahlen.
X sei die Zufallsgröße die Angibt wie viel Du verdienst.
Dann ist P(X=1) = 0. Weil die Wahrscheinlichkeit, dass Pi
gezogen wird Null ist. Nicht ungefähr Null, sondern genau
Null.

Und genau in diesem Moment ist X nicht mehr stochastisch! Wenn X nur 1 sein kann, wo ist sie dann stochastisch??? Ich mache mal ein deutchliches Beispiel:

Jemand würfelt mit einem echten Würfel. Und du gewinnst, wenn eine Zahl größer als 7 gewürfelt wird. Da dies unmöglich ist, ist es ein sicheres Ereignis, dass du verlierst. Es besitzt also keine Stochastik mehr!!!

Also ist P(X=-1) = 1. Der Erwartungswert von X ist folglich
-1. Der Erwartungswert von (X+1)^2 ist Null. Und das ist ja
die Varianz.

Aber natürlich ich die Zufallsgröße X nicht konstant.

Aber eben doch! Gegenfrage: Wie groß ist denn die Wahrscheinlichkeit, dass es nicht x=-1 ist? Antwort: NULL!!!

Als Physiker sieht das ganze etwas anders aus. Es gibt
Konstanten die zwar einen (nach heutigem Wissenstand)
konstanten Wert besitzen, aber nicht exakt ermittelt werden
können.
Bestes Beispiel:
http://de.wikipedia.org/wiki/Gravitationskonstante

Die Frage was der Physiker „exakt“ ermitteln kann führt jetzt
aber wirklich in eine philosophische Richtung. :wink:

Beste Grüße
Zwergenbrot

Naja, keine Konstante kann exakt ermittelt werden. Das lernen wir ja schon aus der Heisenbergschen Unschärferelation! :wink:

viele Grüße aus Berlin

#5

Hallo zusammen,

wenn die Varianz einer Zufallsvariable X Null ist (also
V(X)=0), dann bedeutet das ja, dass X fast sicher (also mit
einer Wahrscheinlichkeit von 1) konstant ist. Auch andersherum
kann man sagen: „Die Varianz einer Konstanten ist Null.“

Faslch! Wenn die varianz null ist, dann ist der Ausgang deines Experimentes SICHER! Nicht fast sicher sondern 100%ig sicher. Dann ist es aber auch keine echte Zufallszahl mehr. Sie ist dann deterministisch.

Nun stellt sich mir in einer Klausuraufgabe die Frage, ob das
eine für das andere zwingend notwendig ist. Also gibt es eine
Konstante, deren Varianz nicht Null ist oder einen Fall, in
dem die Varianz zu einer Zva Null ist, welche aber nicht
konstant ist? Ist das eine für das andere also jeweils eine
hinreichende und notwendige Bedingung? 

Vielen Dank für alle (durchdachten) Antworten!!!

Eine Zufallszahl ist der Ausgang eines Zufallsexperimentes. Ein Zufallsexperiment ist definiert als Experiment, dessen Ergebnis unsicher, also stochastisch ist. Damit etwas stochastisch sein kann, also unsicher, muss es mindestens zwei mögliche Realisationen geben. Somit ist schon per Definition eine konstante Zahl keine Zufallszahl!

Die Varianz einer konstanten Zahl ist eben NULL! Die Varianz einer Zufallszahl und ungleich Null, muss aber nicht zwingend definiert sein. So gibt es Verteilungsfunktionen, die keine theoretische Varianz haben, da das zweite Moment der Verteilung nicht definiert ist. ( nicht lösbar z.B. Cauchy-Verteilung)

alle Klarheiten beseitigt?

viele Grüße aus Berlin

#6

Vielen Dank schonmal! Die Fragestellung ist evtl wirklich einfach zu abgehoben für die relativ einfache Regel…

#7

Hi Helferlein1980,

…

-Wenn eine Variable eine Varianz von null aufweißt, ist sie
eine Konstante.

Das ist falsch. Der Fragesteller gibt im Grunde selbst schon
fast ein Gegenbeispiel, vergisst es dann aber sofort: Wenn
z.B. eine Zufallsgröße fast (!!!) sicher konstant ist, dann
ist die Varianz Null.

Und hier liegst du FALSCH! FAST SICHER gibt es nicht.
Entweder ist es sicher oder nicht. Ab welchem wert von p ist
etwas fast sicher??? Stochastisch gesehen ist es Unsinn!

Da würde ich widersprechen. Es gibt eine mathematisch exakte Definition von „fast sicher“, welche aus auf der Maßtheorie begründeten Stochastik herrührt. Dadurch könnte man sagen, die Zufallsvariable ist „fast kontante“, falls sie immer ein und den selben Wrt annimmt, mit Ausnahme auf einer Menge vom Maß Null. Dies ist genau der Fall im Beispiel von Zwergenbrot.

Nimm folgendes Experiment.
Du wählst per Zufall eine reelle Zahl in einem Intervall (z.B.
zwischen 2 und 5). Wenn es die Zahl Pi ist, dann bekommst Du 1
Geld. Wenn es nicht Pi ist, dann musst Du 1 Geld zahlen.
X sei die Zufallsgröße die Angibt wie viel Du verdienst.
Dann ist P(X=1) = 0. Weil die Wahrscheinlichkeit, dass Pi
gezogen wird Null ist. Nicht ungefähr Null, sondern genau
Null.

Und genau in diesem Moment ist X nicht mehr stochastisch! Wenn
X nur 1 sein kann, wo ist sie dann stochastisch??? Ich mache
mal ein deutchliches Beispiel:

Jemand würfelt mit einem echten Würfel. Und du gewinnst, wenn
eine Zahl größer als 7 gewürfelt wird. Da dies unmöglich ist,
ist es ein sicheres Ereignis, dass du verlierst. Es besitzt
also keine Stochastik mehr!!!

Hier liegt alles größer als 7 aber nicht in der Menge der möglichen Elementarereignisse. Pi jedoch lag zuvor darin, da es im Intervall [2,5] enthalten ist. Das Beispiel ist also anderer Natur.

Also ist P(X=-1) = 1. Der Erwartungswert von X ist folglich
-1. Der Erwartungswert von (X+1)^2 ist Null. Und das ist ja
die Varianz.

Aber natürlich ich die Zufallsgröße X nicht konstant.

Aber eben doch! Gegenfrage: Wie groß ist denn die
Wahrscheinlichkeit, dass es nicht x=-1 ist? Antwort: NULL!!!

Als Physiker sieht das ganze etwas anders aus. Es gibt
Konstanten die zwar einen (nach heutigem Wissenstand)
konstanten Wert besitzen, aber nicht exakt ermittelt werden
können.
Bestes Beispiel:
http://de.wikipedia.org/wiki/Gravitationskonstante

Die Frage was der Physiker „exakt“ ermitteln kann führt jetzt
aber wirklich in eine philosophische Richtung. :wink:

Beste Grüße
Zwergenbrot

Naja, keine Konstante kann exakt ermittelt werden. Das lernen
wir ja schon aus der Heisenbergschen Unschärferelation! :wink:

Hier will ich dich nur ärgern :wink: Der Wert der Lichtgeschwindigkeit c im Vakuum ist exakt bekannt ;D Aber der wurde ja auch nicht ermittelt…

viele Grüße aus Berlin

Beste Grüsse,
IGnow

1 Like
#8

Hallo,

mal ehrlich: Meinst du wirklich, dass diese Korinthenkakerei hier hilfreich ist? Denkst du wirklich ein Mathematikstudent stellt hier die Frage?

Klar können wir uns über sigma-algebren u.s.w. unterhalten, aber denkst du, dass jemand, der sich damit befasst, hier seine Fragen so stellt? Ich denke das Forum hier ist nicht für die Selbstdarstelleuung da, sondern um Leuten zu helfen.

Ich mag garnicht bezweifeln, dass du ein kleverer Typ bist, aber meinst du ernsthaft, dass dein Kommentar auch nur ansatzweise hilfreich war?!

viele Grüße

#9

Vielen Dank auch für diese (auf den Punkt gebrachte) Antwort!! :smile: Ich fand allerdings auch die etwas Ausführungen von IGnow ganz gut als Denkanstoß. By the way studiere ich „nur“ Psychologie, das stimmt…aber es gibt ja auch kaum Fächer mit mehr Stochastik :wink:

#10

Tut mir ein Bisschen leid, falls es als Klugscheisserei herüberkam. Meine Antwort war auch weniger an den ursprünglichen Fragesteller gerichtet als mehr an dich, da du meintest es gäbe kein „fast sicher“. Mir war mehr danach, dir etwas aufzuzeigen, dessen du dir evtl nicht bewusst warst. So radikal, wie du die Aussagen von Zwergenbrot verneint hast, konnte ich das nicht stehen lassen.

Grüsse, IGnow