Hallo ich hab hier golgende Aufgabe:
Sei\ M=\begin{Bmatrix}\begin{pmatrix} 0 & a & b \ -a & 0 & c \ -b & -c & 0 \end{pmatrix} |:a,b,c\in\mathbb{R}\end{Bmatrix}\subseteq M_{33}(\mathbb{R}).
Beweisen Sie, dass M ein Unterraum von
M_{33}(\mathbb{R})
ist.
Dazu muss ich zeigen das:
1.
M\subseteq M_{33}(\mathbb{R})
2.
M\neq\emptyset
3.
M_1 + M_2 \in M
4.
\lambda \cdot M_1 \in M
Meine Lösung:
Zu 1:
Da a,b,c reelle Zahlen sein sollen ist es offensichtlich das
M\subseteq M_{33}(\mathbb{R})
gilt.
Zu 2:
Wegen \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \in M \ ist \ M\neq\emptyset
Zu 3:
M_1+M_2=\begin{pmatrix} 0 & a_1 & b_1 \ -a_1 & 0 & c_1 \ -b_1 & -c_1 & 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & a_2 & b_2 \ -a_2 & 0 & c_2 \ -b_2 & -c_2 & 0 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 0+0 & a_1+a_2 & b_1+b_2 \ -a_1-a_2 & 0+0 & c_1+c_2 \ -b_1-b_2 & -c_1-c_2 & 0+0 \end{pmatrix} \in M
Zu 4:
\lambda M_1=\lambda\begin{pmatrix} 0 & a_1 & b_1 \ -a_1 & 0 & c_1 \ -b_1 & -c_1 & 0 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} \lambda 0 & \lambda a_1 & \lambda b_1 \ \lambda -a_1 & \lambda 0 & \lambda c_1 \ \lambda -b_1 & \lambda -c_1 & \lambda 0 \end{pmatrix} \in M
Da ich solche Beispiele noch nie gemacht habe frage ich mich ob das so stimmt und ausreicht oder ob man noch was verbessern könnte.
Danke schonmal für eure Hilfe
