Liebe Leute!
Ich stehe vor einem Problem. Ich muss als Hausübung das Volumen und die Eckpunkte einer quadratischen Pyramide mittels Vektoren berechnen, stehe aber vor einem Problem, da diese ja dreidimensional ist.
Hier die Aufgabenstellung:
A(-5,4,3)
B(3,4,3)
D(-5,-6,z)
Die Spitze ist der Schnittpunkt dreier Ebenen:
E1:x-y+2z=9
E2:5x+y+z=6
E3:2x+y-z=3
Vielen Dank für eure Hilfe.
Lg, Philipp
Zunächst mal die Eckpunkte. A, B und D hat man ja schon; daraus erhalten wir den Vektor AB = (8, 0, 0) (hier als Zeilenvektor geschrieben, Spaltenvektoren gehen hier schlecht 
). Diese Seite hat also die Länge 8.
Der Vektor AD ist (0, -10, z-3). Das müsste eigentlich auch die Länge 8 haben, wenn die Pyramide quadratisch ist - das ist aber für keinen Wert von z möglich, also stimmt irgendwas mit der Aufgabenstellung nicht!
Wenn man z berechnen könnte, dann würde man C schließlich aus der Bedingungen AB = DC erhalten.
Die Koordinaten der Spitze S erhält man natürlich durch Lösen des linearen Gleichungssystem. (Ergebnis: S(7,-20,-9) )
Zum weiteren Vorgehen gibt es verschiedene Lösungen, je nach Vorwissen.
Die schnellste und einfachste Möglichkeit ist: Das Volumen einer quadratischen Pyramide mit den Eckpunkten ABCD der Grundfläche und der Spitze S ist 1/3 des Spatprodukts der Vektoren AB, AD und AS. Das Spatprodukt kann man direkt ausrechnen oder als die Determinante der Matrix, die aus diesen drei Vektoren gebildet wird.
Falls das Spatprodukt nicht bekannt ist: bekannte Formel V = 1/3 G h verwenden mit der Grundfläche G und der Höhe h. h ist dabei der Abstand des Punktes S zur Ebene durch die Punkte A, B und D (das ist im Allgemeinen eine ziemliche Rechnerei!).
Für die Grundfläche G gibt es auch wieder (mindestens) zwei Möglichkeiten. Einmal kann man sie (da sie (angeblich!) quadratisch ist, also ein Spezialfall eines Parallelogramms) als Betrag des Kreuz-/Vektorprodukts der Vektoren AB und AD ausrechnen. Viel einfacher ist natürlich (und auch ohne Kreuzprodukt rechenbar): einfach die Grundformel für ein Quadrat benutzen, eine Seitenlänge ist ja bekannt!
Hallo Philipp
Die Spitze S erhältst Du durch Lösen des Gleichungssystems der drei Ebenen, nach welchem der vielen möglichen Verfahren auch immer.(Ich habe zB E1+E2 und 2*(E2-E3) genommen, und schon ließ sich y eliminieren und ich erhielt z=-9, dann x=7 und y=-20.)
Also ist S=(7/-20/-9) die Pyramidenspitze.
Jetzt geht es um C und D. Da A von B die Entfernung 8 hat, muss A von D ebenfalls die Entfernung 8 haben,
Also 8=Wurzel aus ( 100 + (z-3)quadrat) mit den Lösungen z=9 und z=-3, womit Du auch D hast (zwei Lösungen, also ab jetzt doppelte Rechnung). C ergibt sich einfach aus Ortsvektor von A + vektor AB + Vektor AD (womit die „Quadrateigenschaft“ der Grundfläche ausgenutzt ist) Für D1=(-5/-6/-3) erhalte ich C1=(3/-6/-3) (solltest Du ggf. nachrechnen, Rechenfehler sind bei mir immer möglich) .
Nun weiß ich nicht, ob Ihr im Unterricht schon die einfache Volumenformel über die Determinante anwenden dürft, oder ob Ihr mit der Mittelstufenformel
V= 1/3 (G*h) rangehen müsst.
Ist Letzteres der Fall, dann ist G=8*8=64 (klar) und h ist der Abstand der Spitze S von der Grundflächenebene.
Die Grundflächenebenengleichung in Hesseform aufzustellen, ist keine Kunst, und für den Abstand eines Punktes von einer Ebene hattet Ihr sicher auch schon die Formel. Viel Glück und einen schönen Sonntag,
Gruß Max
Pyramidenspitze: s(1|-6|7)
V= (b-a)x(d-b)*(s-a)/3
Hallo Philipp,
ist die Frage noch aktuell? Komme leider erst heute dazu, zu antworten.
Grüße,
Fabi123
Oder löse das inhomogene Gleichungssystem mit 3 Unbekannten nach x, y und z auf. das ist dann S(x|y|z)
Stelle eine Ebene aus den Eckpunkten in Punkt-Richtungsform aus den gegebenen Punkten auf (Grundfläche)
Bilde den Normalenvektor zur Grundfläche (senkrecht zu Grundfläche).
Stelle die Gerade h mit dem Punkt S und diesem Normalenvektor auf.
Schneide diese Gerade h mit der Grundebene --> Lotfußpunkt F
Berechne die Länge von FH = Höhe der Pyramide.
Berechne die Grundfläche mit den entsprechenden Vektoren
Berechne mit der Standardformel das Volumen der Pyramide.
alternativ kannst du, wenn du die Spitze kennst, mit den entsprechenden Vektoren, die die Pyramide aufspannen, und der Formel das Volumen direkt berechnen.
Hallo,
bitte kontrolliere die von Dir eingegebenen Werte. Aus den drei Punkten A, B und D bekommst Du, egal wie groß z ist, niemals eine quadratische Grundfläche, D liegt dazu viel zu weit von A und B entfernt. Wenn Du die drei Punkte sorgfältig in ein dreidimensionales Koordinatenkreuz einträgst, wirst Du das sofort einsehen!
Du kannst die Aufgabe auch ohne Kenntnis von D lösen, aber vielleicht stimmen ja A oder B nicht.
Die Spitze der Pyramide berechnest Du, indem Du die drei Ebenen zum Schnitt bringst, ich erhalte
S(7; -20; -9).Wenn Du nicht weißt wie, darfst Du gern auch danach noch einmal fragen.
Bitte stelle Deine Frage noch einmal.
Gruß
Jobie
ist noch aktuell.
nur ich habe einen fehler gemacht: A ist nämlich(-5,4,-3)
lg
Hallo Philipp,
ich weiß ja nicht, ob du nach zwei Tagen noch Hilfe brauchst. Wenn ja, schreib mir bitte nochmals, bis wann es dir noch hilft. Die Schritte zur Lösung könnte ich dir nennen.
Gruß Retep47
Hallo Philipp,
da ich hier keine Pfeile überBuchstaben machen kann musst du sie dir über allen Vektoren (AB, AC, AS, …) dazudenken.
Ich würde erstmal irgend ein Quadrat zeichnen und die Ecken gegen den Uhrzeigersinn von A bis D benennen, das hilft bei der Vorstellung. Da es ein Quadrat ist müssen die Vektoren AB und AD gleich lang sein, also der Betrag von AB gleich der Betrag von AD, mit dieser Gleichung kannst du „z“ bestimmen. Den Ortsvektor von C („0C“) kannst du berechnen, indem du den Ortsvektor von B („0B“) plus den Vektor AD rechnest (da es ein Quadrat ist ist der Vektor AB ja gleich Vektor DC und AD gleich BC (gleiche Länge und gleiche Richtung -> gleicher Vektor).
Das Volumen der Pyramide kannst du nach der normalen Formel fürs Volumen einer Pyramide berechnen, also 1/3 * Grundfläche * Höhe.
Die Grundfläche bekommst du, indem du die Länge z.B. des Vektors AB quadrierst (ist ja ein Quadrat).
Für die Höhe der Pyramide musst du erst die Spitze berechnen, der ist ja der gemeinsame Punkt der drei Ebenen, also die drei Ebenengleichungen als lineares Gleichungssystem betrachten und nach x, y und z auflösen (Additionsverfahren oder Taschenrechner), x, y und z sind die Koordinaten des gemeinsamen Punktes, also der Spitze.
Jetzt noch die Gleichung der Ebene aufstellen, in der A, B, C und D liegen und den Abstand der Spitze von dieser Ebene berechnen (z.B. mit der Hesse-Form oder einer Lotgeraden), dieser Abstand ist die Höhe der Pyramide, damit hast du alles was du brauchst.
Es gibt noch andere Möglichkeiten die Aufgabe zu lösen, aber ich denke das ist die einfachste und schnellste.
Wenn du Fragen hast antworte einfach.
Grüße,
Fabi123
Hallo.
Also wenn ich die Aufgabe richtig verstehe, benötigst Du zunächst den Punkt C sowie den Schnittpunkt der Ebenen (ein Punkt) - danach müsstest Du das Volumen berechnen können.
Viele Grüße
Hallo Philipp,
leider kam ich nicht dazu, die Aufgabe zu lösen. Die Angabe des Punktes D müsste nach meiner Einschätzung näher erläutert werden. Soll die Grundfläche der Pyramide in einer Ebene (A,B,D) liegen?
Viele Grüße
funnyjonny
Hallo,
ich würde so beginnen: