Vektorrechnung im 3-dim. Raum

Wissenschaft Mathematik
#1

Liebe Leute!

Ich stehe vor einem Problem. Ich muss als Hausübung das Volumen und die Eckpunkte einer quadratischen Pyramide mittels Vektoren berechnen, stehe aber vor einem Problem, da diese ja dreidimensional ist.

Hier die Aufgabenstellung:
A(-5,4,-3)
B(3,4,3)
D(-5,-6,z)
Die Spitze ist der Schnittpunkt dreier Ebenen:
E1:x-y+2z=9
E2:5x+y+z=6
E3:2x+y-z=3

Den Schnittpunkt der drei Ebenen habe ich bereits, der ist S(7,-20,-9). Mir ist auch klar dass, AB = (8, 0, 0), diese Seite also die Länge 8 hat und nun AD auch 8 haben muss.
Ist der Ansatz 8=Wurzel(0^2+(-10)^2+(z+3)^2) falsch? Da kommt doch keine Lösung raus?
Und wie bekomme ich den Punkt C?
Das Volumen berechnet sich G*h/3, G=64 (klar), aber wie berechne ich die Höhe?

Vielen Dank für eure Hilfe.
Lg, Philipp

#2

Hallo,

Mir ist auch klar dass, AB = (8, 0, 0)

Du hast Dich verrechnet. AB = (8, 0, –6).

Ist der Ansatz 8=Wurzel(0^2+(-10)^2+(z+3)^2) falsch? Da kommt
doch keine Lösung raus?

Der Ansatz ist prinzipiell richtig, nur steht links vom „=“ eine falsche 8 statt der richtigen 10, mit der die Gleichung dann auch lösbar ist.

Und wie bekomme ich den Punkt C?

Am einfachsten aus der Eigenschaft eines Quadrats, dass die beiden Diagonalen denselben Mittelpunkt haben: 1/2 (A + C) = 1/2 (B + D).

aber wie berechne ich die Höhe?

h = Abstand Grundflächenmittelpunkt – Spitze

Ich habe Deine Aufgabe mit dem Maxima-Script gelöst, das Du hier angefügt findest (Maxima ist ein freies CAS = Computer Algebra System). Du kannst die Bedeutung der einzelnen Zeilen sicher selbst enträtseln → viel Spaß dabei.

kill(all)$

length(r) := sqrt(r[1]\*r[1] + r[2]\*r[2] + r[3]\*r[3])$

a: [-5, +4, -3]$
b: [+3, +4, +3]$
u: [-5, -6, dz]$

a-b;
ab: length(a-b);
solve(length(a-u) = ab, dz);
d: [-5, -6, -3];
ad: length(a-d);
c: d - a + b;
linsolve([x-y+2\*z = 9, 5\*x+y+z = 6, 2\*x+y-z = 3], [x, y, z]);
s: [7, -20, -9];
m: (a + b + c + d)/4;
h: length(m-s);
V: ab\*ab\*h/3;

Ausgabe:

(%o5) [-8,0,-6]
(%o6) 10
(%o7) [dz=-3]
(%o8) [-5,-6,-3]
(%o9) 10
(%o10) [3,-6,3]
(%o11) [x=7,y=-20,z=-9]
(%o12) [7,-20,-9]
(%o13) [-1,-1,0]
(%o14) sqrt(506)
(%o15) (100\*sqrt(506))/3

Gruß
Martin

#3

Vielen Dank Martin.

nur eines ist mir noch nicht ganz klar:

V= 1/3 (G*h)
G=10*10=100 (klar) und h ist der Abstand der Spitze S von der Grundflächenebene = Abstand Mittelpunkt Grundfläche (=Diagonale/2) zu Spitze. S=(7,-20,-9), A(-5,4,-3), D(-5,-6,-3)
M=(A+D)/2=(-5, -1,-3)
MS=(-12,19,6) => Länge = Wurzel daraus = 23,25 und nicht 4, da das Volumen 400 beträgt.

#4

Hallo zusammen,

da muss ich z.T. heftig widersprechen. Ich auch wxMaxima und der fragliche Teil liest sich bei mir so:

defEbeneNF(„EG A B C“);
h:abstandPunktEbene(EG,E);
V=streckeLaenge(A,B)^2*h/3, numer;

(%o14) 60*x-80*z+60
(%o15) 12
(%o16) V=400.0

PDA
PS: Das Volumen kann auch via Spatprodukt berechnet werden…

#5

V= 1/3 (G*h)
G=10*10=100 (klar) und h ist der Abstand der Spitze S von der
Grundflächenebene = Abstand Mittelpunkt Grundfläche

Halt, stop, Kommando zurück. Das von mir geschriebene

h = Abstand Grundflächenmittelpunkt – Spitze

ist nur für gerade Pyramiden korrekt, d. h. solche, deren Spitze orthogonal über dem Grundflächenmittelpunkt liegt. Deine Pyramide ist aber – wie konnte ich es nur übersehen – schief und dann musst Du

h = Abstand Grundflächenebene – Spitze

rechnen, denn das ist immer richtig. Sorry wegen meines Irrtums.

Mit dem korrigierten Skript unten fand ich Paradigmas Ergebnis V = 400 bestätigt. Nun sollte alles OK sein.

Martin

kill(all)$

length(r) := sqrt(r[1]\*r[1] + r[2]\*r[2] + r[3]\*r[3])$

cross(p, q) := [p[2]\*q[3] - p[3]\*q[2],
 p[3]\*q[1] - p[1]\*q[3],
 p[1]\*q[2] - p[2]\*q[1]]$

a: [-5, +4, -3]$
b: [+3, +4, +3]$
u: [-5, -6, dz]$
E1: sx - sy + 2\*sz = 9$
E2: 5\*sx + sy + sz = 6$
E3: 2\*sx + sy - sz = 3$

a-b;
ab: length(a-b);
solve(length(a-u) = ab, dz);
d: [-5, -6, -3];
ad: length(a-d);
c: d - a + b;
linsolve([E1, E2, E3], [sx, sy, sz]);
s: [7, -20, -9];
m: (a + b + c + d)/4;
n: cross(a-c, b-d);
k: n[1]\*m[1] + n[2]\*m[2] + n[3]\*m[3];
h: (n[1]\*s[1] + n[2]\*s[2] + n[3]\*s[3] - k)/length(n);
V: ab^2\*h/3;

Ausgabe:

(%o9) [-8,0,-6]
(%o10) 10
(%o11) [dz=-3]
(%o12) [-5,-6,-3]
(%o13) 10
(%o14) [3,-6,3]
(%o15) [sx=7,sy=-20,sz=-9]
(%o16) [7,-20,-9]
(%o17) [-1,-1,0]
(%o18) [120,0,-160]
(%o19) -120
(%o20) 12
(%o21) 400
#6

Hallo Paradigma,

da muss ich z.T. heftig widersprechen.

zu Recht :smile: Ich habe das „kleine“ Detail übersehen, dass die Pyramide schief ist. Siehe dazu meine Antwort an den Fragesteller und danke für den Hinweis.

Gruß
Martin

#7

Gut, dass wir darüber gesprochen haben…
Dann darf ich Dir mal meine Bibliothek angeom empfehlen?

PDA