Verbindung zwischen zwei Punkten A und B

Wissenschaft Mathematik
#1

Folgende Aufgabe:

"Gegeben sind die Punkte A (1,-2,3) und B (2,4,-1).

Wenn man die Verbindung AB bildet, zu welchen Punkten gelangt man, wenn man nochmals um den Abstand AB auf dieser Verbindung weiterläuft? (Achtung: Es gibt hier zwei Lösungen!)?"

Ich habe den Abstand zwischen den Punkten berechnet und kam auf das Ergebnis 7,28. Allerdings bin ich mir gerade im unklaren, ob mir das weiter hilft. Theoretisch müsste doch so etwas heraus kommen wie 2AB bzw. - 2AB. Doch wie komme ich auf exakte Punkte?

Bestimmt eine grundlegende Sache, die mir gerade nicht einfällt.

Ich bedanke mich im voraus für jede Hilfe! 

Schönen Gruß

Reiner

#2

Ich würde nicht den Abstand berechnen, da es sich ja um Vektoren handelt ist eine Vektoraddition um die Verbindung AB sinnvoller. Also den Vektor AB berechnen und zu A bzw. zu B addieren, somit kommst du auf die beiden neuen Punkte.

#3

Hallo Reiner,

Mal von unten nach oben:

Der Punkt liegt bei (3/10/-5).
Man kommt auf den Punkt mit Vektorrechnung.

„2AB bzw. - 2AB“ sieht für mich so aus, als ob Du Punkte und Strecken
vermischst.

Auf die 7,28 komme ich auch.

Auf zwei Lösungen käme ich nur, wenn in „die Verbindung AB“ die
Reihenfolge von A und B ohne Bedeutung wäre. Ich lese das aber als
Verbindung vom Punkt A zum Punkt B. Dann läuft man zum Verdoppeln des
Abstandes auf der Gerade AB über B hinaus (zum oben angegebenen Punkt).
(Wenn man auf der Verbindungsgeraden vom Punkt B zum Punkt A laufen
würde und dann über den Punkt A hinaus, dann käme man zu einem anderen
Punkt).

Hm, ich kann jetzt hier keine Einführung in die Vektorrechnung
schreiben. Vielleicht liest Du in einem Mathe-Buch nach oder schaust Dir
z.B.
https://www.youtube.com/watch?v=13pK9hAnIyg
an (hoffentlich habe ich auf die Schnelle ein passendes Video gefunden.
Bei Lern-Videos ist die Pause-Taste besonders wichtig, um Fragen zu
notieren oder etwas zu überdenken oder nach zu vollziehen. Plane also
bitte für das Video mehr Zeit ein, als die reine Abspielzeit (14:18 Min.)

Mit Wer-weiss-was-freudigen Grüßen

mavoe

#4

Hallo Reiner,

also eigentlich hat isi93g schon alles wichtige erwähnt. Ich möchte noch auf folgendes hinweisen. Man bestimmt den Differenzvektor von A nach B indem man vom Ortsvektor von B den Ortsvektor von A abzieht. Dann kann man den Differenzvektor zu dem Ortsvektor von B addieren.
Die zweite Lösung erhält man allerdings, indem man den Differenzverktor von A nach B mit einem minus multipliziert und dann zu dem Ortsvektor von A addiert. Vergisst man das minus, landet man wieder beim Punkt B.

Ich hoffe das hilft dir weiter!

VG,
Stefan

#5

Hallo,

Du kannst das für jede Komponente (x,y,z) getrennt machen.
Also:

Für x: Von 1 bis 2 ist es ein Schritt, und den nochmal zur 2 dazu, macht 3. Der neue Punkt liegt also schon mal bei x = 3.

Für y: Von -2 bis 4 sind es 6 Schritte, diese zu den 4 dazu macht y = 10.

Für z: Von 3 bis -1 sind es (-4) Schritte, diese zu den -1 dazu macht z = -5.

Der neue Punkt liegt also bei (3,10,-5).

Die andere Lösung (über A hinaus verlängern) bekommst Du jetzt selbst heraus.

Gruß
Olaf

#6

Vielen Dank für die ganzen Antworten! Haben mir sehr weiter geholfen, habe viel gelernt!

Schönen Gruß!

Reiner

#7

Lösungen:

Punkt 1: (3,10,-5)

Punkt 2: (0,-8,7)

#8

Da ich hier bereits so tatkräftige Hilfe erhalten habe:

Die nächste Aufgabe lautete:

„e.) Verständnisaufgabe: Wie groß ist der Abstand zwischen den beiden Punkten, die Sie in Aufgabe d.) [meine ursprünglich gestellte Aufgabe] berechneten?“

So habe ich den Abstand ausgerechnet und komme auf das Ergebnis:

Abstand zwischen P1 und P2 = 21,84

Soweit so gut, doch die abschließende, als „Gute Zusatzübung“ deklarierte Aufgabe lautet:

„Machen Sie die rechnerische Probe zu Aufgabe e.)“

Wie soll diese Probe denn aussehen? 

Falls noch jemand Lust hat, mir weiter zu helfen, schonmal vielen lieben Dank!

#9

Hallo,

Wie soll diese Probe denn aussehen? 

Du könntest |A – B| ausrechnen (falls Du das nicht eh schon in einem anderen Aufgabenteil gemacht hast) und nachweisen, dass |P1 – P2| um den richtigen Faktor größer ist als |A – B|. Wie groß dieser Faktor ist, überlegst Du Dir bitteschön selbst.

Gruß
Martin

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#10

Vielen Dank zunächst. Die Rechnung habe ich gemacht und |P1 – P2| ist um den Faktor 3 größer. Ist dies nun der richtige Faktor? Mir fehlt dabei ein bisschen das Verständnis. Um 3 eventuell, weil quasi zur Verbindung AB einmal positiv und einmal negativ „weitergelaufen“ wird, also wir quasi den Abstand von 3AB haben?
Ich hoffe Du kannst mir folgen.

#11

Ja, 3 ist der richtige Faktor und die geometrisch-anschauliche Begründung dafür hast Du selbst schon geliefert (war ja jetzt auch nicht so schwer). Ich sehe nichts, was auf einen Mangel an Verständnis hindeutet :smile:

also wir quasi den Abstand von 3AB haben?

Korrekt, die verlangte Probe besteht darin, |P2 – P1| = 3 |B – A| zu verifizieren. Ich habe auch keine Idee, was man da sonst veranstalten sollte.

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#12

Super, dann nochmals vielen Dank! Vielleicht denke ich manchmal komplizierter, als ich sollte. ^^