Verständnisfrage zur Ebenenbildung aus 2 Geraden

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

ich bereite mich gerade auf das Abitur vor und habe eine Frage:
Ich habe 2 Geradengleichungen (im 3-Dimensionalen Raum) in Parameterform. Die Fragestellung ist, ob eine Ebene aufgespannt wird und wenn ja wie lautet die Parameterform der Ebene.

Ich schaue also einfach ob es einen Schnittpunkt gibt. Wenn ja wird eine Ebene aufgespannt (solange sie nicht aufeinander liegen).

Wenn es einen Schnittpunkt gibt finde ich die Parameterform der Ebene herraus indem ich einfach:

a) einen der beiden Stützpunkte der Geraden + vielfache des Richtunsvektors der 1. Geraden + vielfache des Richtungsvektors der 2. Gerade

oder

b) Den berechneten Schnittpunkt der beiden geraden + vielfache des Richtunsvektors der 1. Geraden + vielfache des Richtungsvektors der 2. Gerade

Kann ich wirklich a und b machen?

Vielen Dank für die Hilfe

Rob

#2

Hallo,

Die Stützpunkte der einzelnen Geraden liegen nicht zwangsläufig in der Schnittebene.

hth
MklMs

#3

Hey Rob,

Kann ich wirklich a und b machen?

Ja, kannst du.
Der Stützvektor ist ein Ortsvektor zu einem beliebigen Punkt auf der Ebene. Somit existieren unendlich viele Darstellungen einer Ebene.
Da die Ebene beide Geraden enthalten soll, kannst du entweder deinen der Stützvektoren der Geraden nehmen oder den Schnittpunkt. (Auch jeder andere Punkt auf den Geraden kann als Stützvektor benutzt werden.)

Ich schaue also einfach ob es einen Schnittpunkt gibt. Wenn ja wird eine Ebene aufgespannt (solange sie nicht aufeinander liegen).

Du solltest aber auch beachten, dass zwei parallele Geraden eine Ebene aufspannen.
Da würdest du eine Ebene folgendermaßen aufstellen:

Einen der beiden Stützvektoren der Geraden + Vielfaches eines der beiden Richtungsvektors + Vielfaches des Verbindungsvektors von den beiden Stützvektoren.

Also gilt:

  1. g: \tilde{x} = \tilde{a} + r \cdot \tilde{p}

  2. h: \tilde{x} = \tilde{b} + t \cdot \tilde{p}

  3. E: \tilde{x} = \tilde{a} + u \cdot \tilde{p} + v \cdot \tilde{(AB)}

Gruß René

#4

Oh, heißt ich muss also den Schnittpunkt nehmen?

Also: X= Schnittpunkt + r * Richtung1 + t * Richtung2

#5

Die Stützpunkte der einzelnen Geraden liegen nicht
zwangsläufig in der Schnittebene.

Doch!
Die gesuchte Ebene soll ja beide Geraden enthalten, also auch deren Stützpunkte.
Man kann jeden beliebigen Punkt einer der beiden Geraden als Stützpunkt der Ebene benutzen.

mfg,
Ché Netzer

#6

Hey, vielen Dank, hatte ganz vergessen das es auch noch eine Ebene gibt wenn die beiden parallel sind!

#7

g1: x=s1+a*r1
g2: x=s2+b*r2

s ist Stützvektor
r ist Richtungsvektor

Es gibt vier Fälle wie sich Geraden zueinander verhalten können.
Man kann in 2Fällen eine eindeutige Ebene aus 2 Geraden bilden.

Möglichkeit1: Die Gerade schneiden sich.
Stützvektor ist irgend ein Punkt der Ebene zB s1, s2 oder der Schnittpunkt.
Dann noch 2 nicht parallele Richtungsvektoren, da kann man einfach r1 und r2 abschreiben, wenn sie nämlich parallel wären hättest Du nicht den Fall „schneiden sich“ sondern einen der Fälle „identisch“ oder „echt parallel“
Also: E: x=s1 + c*r1 + d*r2

Möglichkeit2: Die Geraden sind echt parallel.
Stützvektor ist wieder irgendein Punkt in der Ebene also zB s1 oder s2
dann benötigen wir wieder 2 nicht parallele Richtungsvektoren. Das Problem ist aber, dass die r1 und r2 parallel sind. Also spannen wir einfach einen neuen Richtungsvektor zwischen irgend einem Punkt der einen Geraden und der anderen Geraden. zB zwischen den Stützvektoren.
Also: E: x=s1 + c*r1 + d*(s1-s2)

Möglichkeit3: Die Geraden sind identisch
Hier kann keine eindeutige Ebene aufgespannt werden.
Man kann allerdings eine Ebene aufspannen die die beiden Geraden enthält(je nach Betrachtungsweise die eine, schließlich sind die beiden identisch) man denkt sich einfach irgendeinen Richtungsvektor aus, der nicht parallel zum ersten ist.
E: x=s1 + c*r1 + d*zufallsvektor

Möglichkeit4: Die Geraden sind windschief
Hier kann keine Ebene aufgespannt werden.