Hallo.
Wir haben folgende Aufgabe bekommen und dann die Lösung mit Erklärung, aber ich und ein paar andere verstehen die Lösung nicht und unser Lehrer kann es uns nicht erklären.
Hier die Aufgabe:
Ein Tischtennisschläger und ein Ball kosten zusammen 1,10 Euro. Der Schläger kostet genau 1 Euro mehr als der Ball. Wie viel kostet der Ball?
Lösung vom Lehrer: 5 Cent.
Erklärung vom Lehrer: Bei 1,10 Euro Setpreis muss der Ball 5 Cent kosten, der Schläger einen Euro mehr, also 1,05 Euro. Das ergibt 1,10 Euro. Würde der Ball 10 Cent kosten, müsste das Set 1,20 Euro kosten, denn der Schläger kostet einen Euro MEHR als der Ball.
Leider kommen wir mit seiner Lösung nicht draus, wir kommen immer auf 10 Cent.
Danke für eine Erklärung die auch nicht intelligente Schüler verstehen.
ihr müsst von den 1,10 €, die Ball und Schläger zusammen kosten, den 1 € abziehen. Bleiben also 0,10 € übrig. Diese sind durch 2 zu teilen (für Ball und Schläger). Ergibt 0,05 €.
Wie kommst Du auf 10 Cent? Kannst Du den Weg mal erklären, vielleicht fällt Dir dabei der Fehler selbst auf.
Der Schläger kostet 1 Euro mehr als der Ball.
Also Ballpreis X = Schlägerpreis Y-1
Einfache Gleichung X=Y-1 Und X+Y=1,10
Nehme ich jetzt X=0,10 funktioniert das nicht, denn dann wäre nach der Angabe X+Y=1,10 Y=1, dann aber wäre nach der ersten Rechnung X=0, denn 1-1=0
Wenn also der Schläger 1 Euro kostet und der Ball Einen Euro weniger als der Schläger dann würde der Ball nichts kosten. Also ist die Annahme daß der Schläger 1 Euro kostet offensichtlich falsch.
Würde der Schläger ein Euro und der Ball 10 Cent Kosten, wäre zwar der Endpreis 1,10, aber der Preisunterschied zwischen Ball und Schläger wäre nicht ein Euro sondern nur 90 Cent.
Willst Du beide Bedingungen, also X=Y-1 und X+Y=1,10 erfüllen geht das nur wenn X 0,05 ist.
0,05=1,05-1 und 0,05+1,05=1,10
Jetzt klarer?
dann muss man zunächst fragen, wo ihr bei der Rechnung nicht weiter kommt.
Eine Probe ist generell extrem sinnvoll, wenn man sich unsicher ist.
Eure Lösung wäre:
Ball = 0,1€
Der Schläger kostet 1€ mehr als der Ball, also kostet der Schläger soviel wie Ball + 1€
Schläger = 0,1€ + 1€ = 1,1€
Beides wird in einem Set verkauft. Das Set besteht aus dem Ball und dem Schläger. Es kostet also soviel wieder Ball und der Schläger
Set = Ball + Schläger
Set = 0,1€ + 1,1€ = 1,2€
Man erkennt: die Lösung war falsch, da das Set nur 1,1€ kosten sollte.
Du hängst offenbar an dem ‚mehr‘.
Wenn das Set 5€ kosten würde und der Schläger 1€ mehr als der Ball, ist es dir dann klarer?
Dieses Beispiel könnte man auch leicht verständlich umdrehen, in dem man fragt:
Du hast 5€ und verteilst sie auf 2 Stapel. Ein Stapel davon soll 1€ mehr erhalten als der andere.
Wenn das nachvollziehbar ist, mach es nochmal mit 11€, nun soll aber ein Stapel gleich 10€ mehr erhalten.
Hallo Stefan,
die Aufgabe ist ein einfaches Beispiel dafür, wie man eine Gleichung mit zwei Unbekannten lösen kann - nämlich mit dem sogenannten Einsetzungsverfahren.
Die beiden Unbekannten hier sind der Einzelpreis für den Schläger (S) und den Ball (B). Was wir wissen ist, dass beides zusammen 1,10 € kostet: S + B = 1,10 €. Damit können wir die Frage nach den Einzelpreisen allerdings nicht beantworten - nur so weit, dass S = 1,10 € - B ist und B = 1,10 € - S. Das alleine hilft uns also nicht groß weiter.
Glücklicherweise haben wir jedoch eine weitere Information, nämlich dass der Schläger ein Euro teurer ist als der Ball: S = B + 1 € oder B = S - 1 €. Diese Information können wir dazu verwenden, aus einer der Gleichungen oben eine Gleichung mit nur einer Unbekannten zu machen, indem wir da den Wert der anderen, also den für S oder den für B ersetzen.
Also: wir nehmen eine Gleichung aus der ersten Gruppe -
S + B = 1,10 € oder S = 1,10 € - B oder B = 1,10 € - S
und ersetzen nun eine der beiden Unbekannten (S oder B) mit dem Wert, den wir aus der zweiten Gruppe entnehmen können (entweder S = B + 1 € oder B = S - 1 €).
Welche Möglichkeit wir nehmen, ist egal. Beispiel mit S + B = 1,10 € und Ersetzung von B:
S + (S - 1 €) = 1,10 €
Damit haben wir eine Gleichung mit nur noch einer Unbekannten und die können wir problemlos auflösen:
S + (S - 1 €) = 1,10 €
2 S - 1 € = 1,10 €
2 S = 2,10 €
S = 1,05 €
oder mit Ersetzung von S, z.B. so:
B = 1,10 € - S
B = 1,10 € - (B + 1 €)
B = 1,10 € - B - 1 € -> Vorzeichen beachten!
B = 0,10 € - B
2 B = 0,10 €
B = 0,05 €
Wie Du vielleicht bemerkt hast, gibt es verschiedene Lösungsmöglichkeiten. Das Prinzip ist aber immer das gleiche; man stellt anhand der gegebenen Informationen zwei Gleichungen mit den gleichen beiden Unbekannten auf. Dann ersetzt man in einer der Gleichungen eine der beiden Unbekannten mit Hilfe der anderen Gleichung und kann so den Wert der anderen Unbekannten errechnen.
Herr im Himmel! Gehts auch noch komplizierter?
Nur weil es mit Gleichungen GEHT, muss man das doch nicht bei einer so einfachen Aufgabe machen.
Ohne Gleichungen ist sie für jedes Grundschulkind lösbar, schau nur mal auf den Weg von Karin weiter unten.
Offensichtlich nicht, sonst wäre hier wohl kaum diese Frage gestellt worden.
Es geht hier nicht um eine Denksportaufgabe, sondern darum, ein mathematisches Prinzip zu kapieren. Nämlich wie man ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten durch das Einsetzungsverfahren löst. Das Gauß-Eliminationsverfahren, das demnächst auf den Fragesteller noch zukommen wird, habe ich ihm und Dir erspart. Wenn meine ausführliche Erklärung für Dich zu kompliziert war, tut mir das leid. Das Problem sehe ich dabei allerdings nicht auf meiner Seite.
Karins Lösung hat den Schönheitsfehler, dass damit nichts erklärt wird (warum funktioniert diese Lösung?). Damit kann der Fragesteller diese Antwort auch nicht auf andere, verwandte Problemstellungen übertragen. Zum Beispiel auf so eine Aufgabe: 6 Äpfel und 12 Birnen kosten 30 Euro. 3 Äpfel und 3 Birnen kosten 9 Euro. Was kostet ein Apfel?
Genau dies zu lernen, ist der Sinn solcher Aufgabenstellungen. Und eben im Sinn einer solchen Aufgabenstellung ist Karins Antwort zwar richtig, aber eben nicht hilfreich.
Ja so wie es aussieht, lag das Problem am „mehr“.
0.05 + 1.05 = 1.10
1.05 - 0.05 = 1 „mehr“
Ich rechne immer 0.1 + 1 „mehr“ = 1.10. Das hat etwa ein Viertel der Klasse so gerechnet. Und wir sind alle über 30 Jahre alte/junge Personen in der Ausbildung zu technischen Kaufleuten (höhere Fachschule) in der Schweiz. Unser Lehrer erklärt vielfach auf Uni-Niveau und das ist für uns zu hoch.
Das mit dem Beispiel mit den 5€ und 1€.
Wenn du die Frage so mit dem Stapel fragst, ist meine Lösung: Ein Stapel hat 3€ und der andere 2€.
Wenn ich die Lösung ja nicht kenne. Wie ist der schlauste Lösungsweg mit dieser Ballgeschichte, damit ich nicht falsch überlege?
Ist das eine mögliche Variante, so wie @Karin geschrieben hat: 1.10 - 1 = 0.10 : 2 = 0.5
Geht diese Variante immer, auch wenn mit grösseren Zahlen gerechnet wird?
Wie verhindere ich, via Rechenweg, dass wenn mal eine andere Aufgabe kommt, evtl. sogar mit drei Gegenständen, damit ich nicht auf dieses „mehr“ hereinfalle?
Also der Lösungsweg von @Tychiades, das ist eindeutig nicht mein Niveau, ich bin kein Professor oder Algebra-Lehrer.
Hast du mir evtl. noch zwei andere Beispiele mit Lösung ohne Kommastellen, evtl. mit grösseren Zahlen?
Dank für deine sehr komplexe Erklärung. Leider hatte ich vor über 20 Jahre in der Sekundarschule das letzte Mal Algebra. Ein Viertel meiner Klasse hatten diese Aufgabe falsch und wir sind alle über 30 Jahre alt/jung und machen eine Ausbildung zum technischen Kaufmann (höhere Fachschule) in der Schweiz. Algebra gehört da nicht dazu, sondern BEBU und FIBU, aber der Lehrer bringt auch immer wieder solche Übungen.
Deine Erklärung ist schön und gut, aber verstehen tue ich deine Erklärung nicht Ansatzweise und ich mache keine Uni-Abschluss in Mathematik. Auch dein Begriff „Gauß-Eliminationsverfahren“ habe ich in meinem Leben noch nie gehört, musste zuerst googeln, was das ist.
Ich denke das mit dem Beispiel von den Äpfeln und Birnen könntest du mir sicher auch einfach erklären bzw. den Lösungsweg aufschreiben, ohne das du mir eine komplexe Algebra-Formel hinschreibst? Würde mich noch interessieren.
So wie es @Karin und @littlepinguin erklärt und beschrieben haben, verstehe ich es eher.
sehr gern. Du hast noch nach größeren und mehr Zahlen gefragt.
Frage: 3 Autos zusammen mit 2 Anhängern kosten zusammen 150.000 €, wobei die Autos und die Anhänger gleich viel kosten und die Autos 40.000 € mehr als die Anhänger. Was kostet ein Auto und was ein Anhänger?
Bei der Frage nach der Lösung solltest du etwas über den Tellerrand schauen.
Die Aufgabe, so vermute ich, ist nicht etwa das finden der Lösung - sondern das finden des Lösungsweges.
Die Aufgabe ist sehr einfach gehalten und komplett zu überschauen. Daher ist der Lösungsweg auch jederzeit vollständig zu durchschauen. Das ist wichtig um das ‚Ganze‘ zu begreifen,
Wenn die Aufgabe über Set = x + (x+ 1) hinaus geht, ist es nicht mehr so einfach zu überblicken und eine Formel gewinnt an Wichtigkeit.
Mein Rat wäre: Eignet euch wieder an, Formeln aufzulösen und umzustellen. Hat man das in groben Zügen wieder im Kopf, kann man die Formeln auch wieder eigenständig aufstellen.
Bei einer Excel Tabelle wird man es spätestens brauchen.
Ich halte das für weit ab von Uni-Niveau. Das ist irgendwo in der Mittelstufe angesiegelt in diesem einfachem Umfang.
Wenn man Formeln nicht umstellen kann und generell damit nicht rechnen kann, kommt man auch nicht damit klar, sie aufzustellen.
Ignoriere Kommastellen, wenn du damit gedanklich nicht klar kommst.
Auch das - würde ich behaupten - gibt sich dann.
Das hab ich im übrigen bereits als Beispiel angeboten.
entspricht deiner Aufgabe, nur mit anderen Werten.
indem du Formeln benutzt.
Das Problem an Formeln ist nur: wenn man sie nicht versteht, bringen sie nix. Das lernt man aber wieder. Besonders wenn man sie selbst aufstellt.
Beispiel (die lange Erklärung dabei nicht falsch verstehen, ich will nur vermeiden, dass es eine Lücke gibt an der man hängen bleiben könnte).
Ein Set besteht aus Ball, Schläger und Netz. Das Netz kostet das doppelte des Schlägers, der Schläger 1€ mehr, als der Ball. Was kostet der Ball, wenn das Set 3,60€ kostet?
Nimm dafür Formeln und mach das ruhig ganz ausführlich, auch wenn man es bereits im Kopf zusammenfassen könnte,
Wir wissen:
Set = b+s+n
s=b+1
n=2s (hier muss ich bereits fragen: ist klar, dass 2B gleichbedeutend mit 2 * B ist? also B + B bedeutet?)
nun kannst du das einsetzen.
Ziel: wir wollen wissen, was der Ball kostet. Alles aus der Formel muss also raus, was nicht b ist.
aus
Set = b+**s**+**n** wird
Set = b + **(b+1)** + **(2s)**
weiter wissen wir bereits, dass s=b1 und 2s auch s+s ist, entsprechend sind 2s das gleiche wie (b+1)+(b+1)
die Klammern schreibe ich nur jedesmal, damit die einzelnen Bereiche weiterhin sichtbar sind. Zudem muss man natürlich beachten, dass Multiplikation vor geht, das müsste man umklammern.
also gehts weiter mit
Set = b + (b+1) + **(b+1)+(b+1)**
jetz haben wir alle Variablen los, bis auf eine einzige. Alles ist Addition, die Klammern können also weg.
Set = b+b+1+b+1+b+1
nun wissen wir, b+b+b+b ist das gleiche wie 4*b oder auch 4b
Erkennen muss man auch, dass 1+1+1=3 ist.
also: Set = 4b+3
Ziel ist es nun immer,die Variable allein auf eine Seite zu bekommen. Was das Set kostet wissen wir. Unbekannt ist nur der Ball. Also muss b allein stehen.
Dafür muss die 3 und die 4 weg.
+3 bekommen wir weg, in dem wir -3 rechnen (auf beiden Seiten)
also
Set = 4b+3 |-3
Set-3 = 4b
die 4 bekomme ich weg, in dem ich alles durch 4 Teile. weil 4 b : 4 ist b ebenso wie 43:4 wieder 3 ist
also: Set-3 = 4b |:4 (Set-3):4=b (Klammer nicht vergessen, da Punktrechung Vorrang hat)
nun kannst du auch den Preis einsetzen: (3,60-3)/4=b
Egal was gefragt ist, mit den obigen 3 Gleichungen, kannst du die Formel immer passend umstellen.
Es ist zwar möglich, dass dir das etwas lang vorkommt, für eine so einfache Aufgabe, aber man könnte das stark abkürzen, indem man direkt erkennt, dass n = (b+1)+(b+1) also 2b+2 ist.
zudem entfallen die Zahlen nahezu komplett. Selbst die 1 könnte man durch eine Variable ersetzen. würde man machen, wenn es keine runde Zahl wäre. so rechnet man bis auf den letzten Schritt nie mit Kommastellen - überhaupt ‚rechnet‘ man zuerst nicht.
Soviel mal zum Vorteil der Formel und warum man sie nutzen sollte.
das ist alles weit Unterhalb von eben dem und wurde sicher nur vergessen.
Das kommt aber wieder, wenn man es öfter braucht.
Wie schon gesagt, wird es in Excel elementar Formeln in etwas zu erkennen.
Unterbewusst macht man es ohnehin immer so. Wenn eine Tüte mit 3 Brötchen 1,50€ kostet, recht man automatisch: 1,5 = 3b |:3
0,5=b
nur ist es so einfach, dass man die Formel da komplett überspringt. Wird es komplizierter, ist es jedoch die Formel, welche die Rechnung vereinfacht.
achmüll, dasd nutzen der formatierung hat einiges zerschossen und man kanns nicht editieren.
Da sind jetzt paar Fehler drin. sieh es als Aufgabe, sie zu finden
die ** war mal eine Hervorhebung der eingeschlossenen Stellen, gehört nicht zur Rechnung selbst.
Du machst den gleichen Fehler, den leider sehr viele Mathelehrer machen:
BEVOR man Formeln lernt (und ihnen schöne Namen gibt) sollte man in der Lage sein, die mathematischen Prinzipien an einfachen Aufgaben wie der obigen ohne Formel zu verstehen und zu lösen.
Ich habe bei Karins Rechenweg kein Verständnisproblem, was man hier erkennt nennt sich Logik, das Elegante ist, dass es dann keiner weiteren Worte bedarf
Für kompliziertere Sachverhalte und Mengen, die nicht so leicht vorstellbar sind wie ein Euro oder ein Euro 10 Cent ist das Einsetzverfahren sinnvoll.
Aber wenn man das Reiten vor dem Aufzäumen vermittelt, kommt genau das dabei raus, was wir am Ende der 10 Klasse oft haben: Schüler, die auch einfachste nur mit Formelsammlung rechnen können - und auch diese oft genug falsch anwenden
Hallo Stefan,
auf die Gefahr hin, Dich zu frustrieren: das ist nichts für „einen Uni-Abschluss in Mathematik“, das ist Lehrstoff für einen 7- oder 8-Klässler. Und wenn Du das nicht einfach nur durchliest, sondern mit einem Blatt und einem Stift einmal selbst durchrechnest, dann kapierst Du das auch. Wenn nicht, hast Du Dir - sorry - den falschen Beruf ausgesucht.
Eine Formel brauchst Du da genauso wenig wie bei der anderen Aufgabe. Es genügt, das Prinzip kapiert zu haben - und genau das habe ich Dir schritt für Schritt aufgezeigt. Verkürzt am Äpfel-und-Birnen-Beispiel:
Du nimmst Dir eine der beiden Gleichungen, z.B. die erste
6 Äpfel und 12 Birnen kosten 30 Euro.
6A + 12B = 30 €
Du formst die Gleichung so um, dass auf einer Seite der Gleichung eine der beiden Unbekannten (A oder B) steht. Hier für A:
A = (30 € - 12 B)/6 = 5 € - 2B
Jetzt nimmst Du die zweite Gleichung:
3 Äpfel und3 Birnen kosten 9 Euro
Hallo Stefan,
auf die Gefahr hin, Dich zu frustrieren: das ist nichts für „einen Uni-Abschluss in Mathematik“, das ist Lehrstoff für einen 7- oder 8-Klässler. Und wenn Du das nicht einfach nur durchliest, sondern mit einem Blatt und einem Stift einmal selbst durchrechnest, dann kapierst Du das auch. Wenn nicht, hast Du Dir - sorry - den falschen Beruf ausgesucht.
Eine Formel brauchst Du da genauso wenig wie bei der anderen Aufgabe. Es genügt, das Prinzip kapiert zu haben - und genau das habe ich Dir schritt für Schritt aufgezeigt. Verkürzt am Äpfel-und-Birnen-Beispiel:
Du nimmst Dir eine der beiden Gleichungen, z.B. die erste
6 Äpfel und 12 Birnen kosten 30 Euro.
6A + 12B = 30 €
Du formst die Gleichung so um, dass auf einer Seite der Gleichung eine der beiden Unbekannten (A oder B) steht. Hier für A:
A = (30 € - 12 B)/6 = 5 € - 2B
Jetzt nimmst Du die zweite Gleichung:
3 Äpfel und 3 Birnen kosten 9 Euro
3A + 3B = 9 €
und ersetzt in dieser das A, das Du in Schritt 2 durch B ausgedrückt hast: A = 5 € - 2B - ergibt:
3(5 € - 2B) + 3B = 9 €
Jetzt hast Du nur noch die Unbekannte B und kannst sie berechen:
15 € - 6B + 3B = 9 €
B = 2 €
Damit kannst Du jetzt auch problemlos berechnen, was ein Apfel kostet (nämlich 1 €). Wenn Dich nur der Preis der Äpfel interessiert und der der Birnen nicht, geht es etwas schneller, wenn Du bei Schritt 2 die Gleichung statt nach A nach B auflöst:
6A + 12 B = 30 €
B = (30 € - 6A)/12 = 2,5 € - 0,5A
Damit jetzt in der anderen Gleichung
3A + 3B = 9 €
das B ersetzen:
3A + 3(2,5 € - 0,5 A) = 9 €
3A + 7,5 € - 1,5 A = 9 €
1,5 A = 1,5 €
A = 1 €
womit sich nun umgekehrt natürlich auch B ausrechnen lässt.
