Verteilung für bestimmten Erwartungswert berechnen

Gegeben ist ein Spielwürfel mit unbekannter Seitenanzahl, auf dem Würfel sind die Zahlen zwischen 1 und 99 in unterschiedlicher Häufikeit, aber mindestens jede Zahl einmal, so verteilt dass sich ein Erwartungswert von 10 ergibt.

Gesucht wird die Formel mit der man die Häufigkeitsverteilung der jeweiligen Zahlen berechechnen kann. Wobei davon ausgegangen werden kann dass je kleiner die Zahl ist diese um so häufiger auf dem Würfel anzutreffen ist. Also die 1 wird häufiger sein als die 2 und die 2 wiederum wird häufiger sein als die 3 u.s.w.

Die 1 wird also z.b. 100 mal auf dem würfel sein, die 2 nur 90 mal, die 3 nur 80 mal, die 40 nur 70 mal…wobei die hier genannte Häufigkeit nur zur verdeutlichung der Häufigkeitskurve dienen soll. Die Kurve ist also abfallend in Richtung 99

Allein aus dem Erwartungswert und ein paar ungefähren Eigenschaften der Verteilung lässt sich nicht die Verteilungsfunktion rekonstruieren.

Bedaure, kann ich nicht weiterhelfen

Interessante Aufgabe!

Nennen wir die Zahl der Seiten, auf der eine 1 steht, n1, entsprechend n2, …, n99, so muss gelten:

(n1*1 + n2*2 + … + n99*99)/(n1 + n2 + … + n99) = 10

Mit dem Nenner multiplizieren:
n1*1 + n2*2 + … + n99*99 = n1*10 + n2*10 + … + n99*10

Alles auf eine Seite bringen:

n1*(-9) + n2*(-8) + … + n99 * 89 = 0

n10 kommt nun überhaupt nicht mehr vor (wird mit 0 multipliziert), ist also völlig beliebig (allerdings kann man da dann wohl die Bedingung benutzen, dass eine Zahl um so häufiger sein soll, je kleiner sie ist).

Es bleibt also eine lineare Gleichung für 98 Variablen; die hat natürlich unendlich viele Lösungen. 97 Variablen sind nun völlig frei wählbar, die letzte hängt von diesen 97 ab. Da n11 mit 1 multipliziert wird, würde ich nach n11 auflösen:

n11 = n1*9 + n2*8 + … + n99 * (-89)

Jetzt bleiben noch zwei Bedingungen zu erfüllen: (1) Alle n’s müssen natürliche Zahlen sein (mindestens 1), und (2) sie sollen zunehmen.

Ich denke, das würde ich nun durch systematisches Probieren lösen… Eine Möglichkeit wäre: mit n99 = 1 anfangen, dann n98 = 2 usw. bis n12; dann hat man eine relativ große negative Zahl. Dann noch n1 bis n9 so wählen, dass n11 insgesamt größer gleich 1 ist. (es gibt wohl trotz der beiden Bedingungen immer noch unendlich viele Lösungen)

Soll auf jeder Seite mindestens eine Zahl oder genau eine Zahl stehen ? Ist das Wort „Würfel“ nur umgangssprachlich verwendet ? (Sonst hätte er keine unbekannte Seitenzahl, sondern die Seitenzahl 6)
Die Frage kommt mir knifflig vor. Bist Du LK-Schüler oder studierst Du ?
Gruß von Max

Eine solche Formel kenne ich nicht.

Hallo Mathias !
Sorry, aber ich kann Dir im Moment (auch weil es in den Bereich „Statitik“ fällt) nicht weiterhelfen.
LG
Don_Pedro

Sorry, da bin ich spontan überfragt - ich hoffe, ein anderer User kann weiter helfen…