Viereck, 4 Längen + "Winkel zweier gegenüberliegenden Seiten"

Wissenschaft Mathematik
#21

Hall Viktor,

vielen Dank für Deine Mühen. Ich bin mir sicher, Dein Ansatz ist korrekt, und die Auflösung sicher nur"fleißarbeit".

Ich würde jetzt Deinen Ansatz nicht weiter verfolgen, da der von Peter und Martin m.E. gleichwertig, aber „eine Seite direkter“ ist, also mit einem Term weniger startet und dementsprechend m.E. einfacher zu „verfolgen“ ist.

Mit „verfolgen“ meine ich die für mich noch notwendige Arbeit, die Vorzeichen zu berücksichtigen um am Ende weder zuviele Lösungen zu erhalten, noch vorzeichenfalsche Terme gegeneinander wegzukürzen. Beispiel: das für Deine nächste Gleichungen notwendige bx und dx kann positiv oder negativ sein. Den „Quadraten“ ist das noch egal, aber bei den Lösungen ist es (für mich, bzw. meinen embedded µController) wichtig, für die 4 möglichen Fälle jeweils vorzeichenrichige eindeutige Rechnungen und Lösungen zu erhalten.

Nicht das mich jemand falsch versteht: Ihr habt meine Problem alle zu meiner vollständigen Zufriedenheit gelöst, wart uns damit weit vorraus und habt uns sehr geholfen. Ich bin sehr glücklich!

Gruß
achim

#22

Hallo Ph33

wenn es jetzt noch jemanden interessiert, könnte ich noch
meine Lösung hier einstellen.

Deine Lösung würde mich auch interessieren. Noch interessanter wäre mir der Weg der Auflösung nach Unbekannten in den trigonometrischen Funktionen, wie z.B.

sin(180°-alpha-beta)

da wir uns daran jedesmal alle Zähne ausgebissen haben.

Die reinen „Pythagoras“-Ansätze sind dagegen „nur“ noch fleiss.

gruß
achim

#23

Hallo VIKTOR,
ich habe jetzt erstmal Deine Gleichung gelöst. Dazu bringe ich die erste Wurzel auf die linke Seite und quadriere die Gleichung:

(a’ - SQRT(b²-by²))² = d² - (cy-by)²

Aus dieser Glg. fällt by² heraus. Das ist wichtig, damit man beim nochmaligen quadrieren nicht eine Glg. 4. Grades für by erhält.

Nach ausmultiplizieren erhält man:

a’² - 2*a’*SQRT(b²-by²) + b²-by² = d² - cy² + 2*cy*by - by²

Hier muss man den Term mit der Wurzel auf eine Seite (allein!) bringen und kann dann die entstehende Glg. nochmal quadrieren. Das liefert eine quadratische Glg. für by:

by² + ((B*cy)/(a’²+cy²)) * by = (4*a’²*b² - B²)/(4*a’²+4*cy²)

Dabei wurde zur Abkürzung B = a’²+b²-d²+cy² gesetzt.

Diese Glg. hat die beiden Lösungen (# steht für + oder -):

by = (1/(2*(a’²+cy²)) * {-B*cy # a’*SQRT[(2*b²-2*d²+cy²)*(a’²+cy²)-a’²*(a’²-cy²)+(b²-d²)²]}

Ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet und nicht verschrieben. Grundsätzliche Schwierigkeiten sehe ich jedoch bei dieser Lösung nicht.
Ich hatte einen etwas anderen Ansatz gewählt und eine quadratische Gleichung für die Größe (cy+by)/d=sin(beta) gelöst, beta=Winkel zwischen den Seiten a und d.
Ich habe noch nicht verifiziert, ob beide Lösungen identisch sind.
Grüße von Ph33

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#24

Hallo,
danke für deine Auswertung der Formel.Ich hatte dies auch so versucht

(a’ - SQRT(b²-by²))² = d² - (cy-by)²
Aus dieser Glg. fällt by² heraus.

aber dabei das Vorzeichen falsch übernommen und prompt 2*by² erhalten.
Bei der vierten Potenz von by habe ich dann gepasst.

by = (1/(2*(a’²+cy²)) * {-B*cy # a’*SQRT[(2*b²-2*d²+cy²)*(a’²+cy²)-a’²*(a’²-cy²)+(b²-d²)²]}
Ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet und nicht verschrieben.
Grundsätzliche Schwierigkeiten sehe ich jedoch bei dieser Lösung nicht.

Stimmt.Nur Konzentration und Ausdauer ist erforderlich.
Ich werde diese Formel mal an Beispielen testen auch an „kippenden“ Vierecken.

Gruß VIKTOR

#25

Hallo Achim,

Deine Lösung würde mich auch interessieren. Noch interessanter
wäre mir der Weg der Auflösung nach Unbekannten in den
trigonometrischen Funktionen, wie z.B.

sin(180°-alpha-beta)

da wir uns daran jedesmal alle Zähne ausgebissen haben.

gruß
achim

wieso rechnest Du mit den Zähnen? Ich gehe nochmal von meiner Gleichung

b²=(d-a*cos(180°-alpha-beta)-c*cos(beta))² + (a*sin(180°-alpha-beta)-c*sin(beta))²

aus. Wie die Bezeichnungen sind, steht in meinem obersten Posting, ich könnte auch noch eine Skizze nachreichen. Hier wollte ich nur zeigen, wie ich die Gleichung umgeformt habe. Nach den Formeln für die Winkeldifferenz gilt:

cos((180°-alpha) - beta) = cos(180°-alpha) * cos(beta) + sin(180°-alpha) * sin(beta
sin ((180°-alpha) - beta) = sin(180°-alpha) * cos(beta) - cos(180°-alpha) * sin(beta)

Setzt man noch cos(180°-alpha)= - cos(alpha) und sin(180°-alpha) = sin(alpha), so lautet die Formel:

b²=(A+B*cos(beta)+C*sin(beta))² + (D*cos(beta)+E*sin(beta))²

mit:
A= d
B= a*cos(alpha) - c
C= - a*sin(alpha)
D= a*sin(alpha) = - C
E= a*cos(alpha) - c = B

Multipliziert man die beiden Klammer-Quadrate aus und setzt noch
sin²(beta)+cos²(beta)=1, so erhält man eine Gleichung, die nur noch konstante Terme und Terme mit cos(beta) und sin(beta) enthält; Terme mit sin*cos sowie sin² und cos²
fallen - zum Glück - heraus.
Nun muss man noch cos(beta) = SQRT[1-sin²(beta)] setzen, die Wurzel auf eine Seite der Gleichung bringen, die Gleichung quadrieren und erhält eine quadratische Gleichung für sin(beta).
Mit c*sin(beta) erhält man den Abstand des Schnittpunktes der Seiten b und c von der Seite d. Damit lässt sich das Viereck konstruieren.

Viele Grüße von Ph33