Hallo,
kennt jemand einen Link auf eine Formel zur Bestimmung eines Vierecks mit „ungewöhnlicher“ Winkel-Angabe? Also
Das Viereck ist damit m.E. ausreichend bestimmt. Kennt jemand dazu eine Formel zur Berechnung der weiteren Größen, z.B. eines Innenwinkels? oder der Höhe?
Gruß
achim
Hallo Achim,
kennt jemand einen Link auf eine Formel zur Bestimmung eines
Vierecks mit „ungewöhnlicher“ Winkel-Angabe? Also
- Viereck
- Konvex (also kein Winkel > 180°)
- alle 4 Länge (a,b,c,d) bekannt
- Winkel zweier gegenüberliegender Seiten
Das Viereck ist damit m.E. ausreichend bestimmt.
ja, das 4-Eck ist sogar „überbestimmt“, aber nicht „ungewöhnlich“
Ob es dazu (nur ein Winkel !) überhaupt eine explizite Formel gibt
möchte ich bezweifeln - denn sie wäre kaum hilfreich im Sinne von
Vereinfachung.
Mach daraus zwei Dreiecke.
1)Dreieck mit 2 Seiten, ein Zentralwinkel,dritte Seite errechnen.
2)Dreieck mit 3 Seiten einschl. der vor ermittelten Seite.
Jetzt kannst du alle anderen Winkel bestimmen (wenn du schon vorher 2 hast muß er
passen) und damit alle noch fehlenden erwünschten Größen wie Diagonale, „Höhen“,
die Fläche und die Koordinaten der Eckpunkte, wenn du das 4-Eck in ein Koordinatensystem
einbringen willst.
Gruß VIKTOR
sorry, kein Plural, 1 Winkel, kein Eckwinkel
Hallo Viktor,
- Winkel zweier gegenüberliegender Seiten
Hier war Singular gemeint. Ein Winkel. Kein Eckwinkel, sondern der Winkel, den 2 gegenüberliegende Seiten formen. Also entweder verlängert gedacht als Gerade, oder halt bis zur Kreuzung verschoben.
Wenn die 4 Seiten a,b,c,d in dieser Reihenfolge heissen, so beispielsweise der Winkel zwischen a und c.
Alternative, gleichwertige Angabe: Die Summe zweier benachbarter Winkel ist bekannt.
Die Lösung geht vermutlich über Abi-Leistung hinaus, ist sicher nicht einfach.
Gruß
achim
Hallo Achim,
- Winkel zweier gegenüberliegender Seiten
Hier war Singular gemeint. Ein Winkel. Kein Eckwinkel, sondern
der Winkel, den 2 gegenüberliegende Seiten formen.
da habe ich wahrscheinlich etwas schlampig hingeschaut auf deinen
Aufgabentext.
Meine Einlassung kannst du deshalb den Hasen geben.
Die Lösung geht vermutlich über Abi-Leistung hinaus, ist sicher nicht einfach.
Nein, dies nicht. Ich werde weiter darüber nachdenken.
Ein Lösungsweg (keine Formel) müßte da schon einmal irgendwo präsentiert worden sein.
Doch selbst nachdenken ist besser.
Meine erste Überlegung geht in Richtung Strahlensatz.
Aber dies muß ich jetzt zu dieser Stunde erst mal auf Eis legen.
Gruß VIKTOR
Hallo,
mach doch mal eine Skizze.
Gruß:
Manni
Hallo,
…
- Viereck
- Konvex (also kein Winkel > 180°)
- alle 4 Länge (a,b,c,d) bekannt
- Winkel zweier gegenüberliegender Seiten, z.B zwischen a und
c. Zur Verdeutlichung : WInkel=0° wäre ein Trapez.Das Viereck ist damit m.E. ausreichend bestimmt. Kennt jemand
dazu eine Formel zur Berechnung der weiteren Größen, z.B.
eines Innenwinkels? oder der Höhe?
Du musst die Länge der Schenkel (nennen wir sie p und q) von Scheitelpunkt des Winkels bis zum Viereck berechnen, dann erschließen sich alle weiteren Bestimmungsstücke des Vierecks, weil du z.B. per Sinussatz zwei zusätzliche Winkel berechnen kannst. Nämlich diejenigen Winkel, welche das Hilfsdreieck mit dem vorgegebenen Winkel und den Schenkeln p und q bestimmen.
Wie kommst du zu den Hilfsgrößen p und q?
Dazu brauchst du nur zweimal die Punktabstandsformel (Pythagoras) für die Entfernung der Punkte mit den Abständen p und q (Abstand = c)auf den Schenkeln und für die Entfernung der Punkte mit den Abständen (p + b) und (q +d) (Abstand = a)auf den Schenkeln anzuwenden. Das läuft auf ein quadratisches Gleichungssystem mit zwei Unbekannten hinaus. Ist zwar lästig zu rechnen, aber sonst keine Großtat.
Besten Gruß
Peter
Hallo Peter,
vielen Dank für Deine Mühe.
Dein Modell habe ich denke ich richtig interpretiert, da Du ja auch meine Benennung übernommen hast.
Wie kommst du zu den Hilfsgrößen p und q?
Dazu brauchst du nur zweimal die Punktabstandsformel
(Pythagoras) für die Entfernung der Punkte mit den Abständen p
und q (Abstand = c)auf den Schenkeln und für die Entfernung
der Punkte mit den Abständen (p + b) und (q +d) (Abstand =
a)auf den Schenkeln anzuwenden.
Die 2 Dreiecke sind somit auch klar. Mir ist hier glaube ich nicht klar, welche Punktabstandsformel Du meinst, bzw. falls Du den Satz des Pythagoras meinen solltest, auf welche Rechwinkligen Dreiecke er sich bezieht, bzw. wenn ich die Trigonometriefunktionsgleichungen ansetze, wie ich deren inversion auflöse.
Hast Du vielleicht noch einmal eine Formel als Beispiel?
Gruß
achim
Damit meine ich Allgemein die Abstandsformel für zwei Punkte mit den Koordinaten (x1;y1) bzw. (x2;y2). Also die (Differenzen der x-Werte) zum Quadrat plus die (Differenzen der y-Werte) zum Quadrat. Und aus der Summe die Wurzel gezogen.
Konkret angewandt jetzt auf zwei Geraden, die sich im Winkel alpha schneiden und auf denen die Strecken p und q liegen. Deren Endpunktkoordinaten eine Entfernung c haben. Die Endpunktkoordinaten ergeben sich aus dem Winkel alpha, enthalten aber noch die unbekannten p und q. Um diese eindeutig bestimmen zu können, brauchst noch die zweite Gleichung für die Entfernung a.
Peter
Hallo Achim,
darf ich auch noch meinen Senf dazu geben?
Ich gehe aus von Deinen Bezeichnungen a,b,c,d für die 4 Seiten Im Uhrzeigersinn, alpha sei der gegebene Winkel zwischen den Seiten (-Verlängerungen) a und c. Den Winkel zwischen den Seiten c und d nenne ich beta. Ich betrachte das rechtwinklige Dreieck mit
Hypotenuse b, eine Kathete parallel zu d durch den Schnittpunkt von b und c, die andere Kathete senkrecht zu d durch den Schnittpunkt von a und b. Den Pythagoras auf dieses Dreieck angewendet liefert die Gleichung
b²=(d-a*cos(180°-alpha-beta)-c*cos(beta))² + (a*sin(180°-alpha-beta)-c*sin(beta))²
Dabei wurde noch benutzt, dass die Winkelsumme in dem Dreieck a-verlängert,c-verlängert, d 180° beträgt. Diese Gleichung enthält nur beta als Unbekannte.
Aus-ixen ergibt eine quadratische Gleichung für sin(beta). Man benutzt dabei einfache trigonometrische Formeln, wie sin²+cos²=1 oder sin , cos von einer Winkelsumme oder Winkeldifferenz. Ob sich für sin(beta) noch Vereinfachungen ergeben, habe ich nicht mehr verfolgt.
Ich glaube, dass ein Abiturient dieses Problem lösen könnte.
Viele Grüße von Ph33
Aufstellen ja, aber nicht umformen und lösen
Hallo Ph33
b²=(d-a*cos(180°-alpha-beta)-c*cos(beta))² + (a*sin(180°-alpha-beta)-c*sin(beta))²
enthält nur beta als Unbekannte.
Ich glaube, dass ein Abiturient dieses Problem lösen könnte.
Mmh, sicherlich kann ein Abiturent hierzu 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten aufstellen. Aber sicher kann nicht einer von 100 seine (oder Deine) Gleichung dann auch auflösen, zumal der „einfache“ Ansatz über Winkelfunktionen deutlich schwieriger aufzulösen ist. Bist Du denn sicher, dass Du das könntest, oder ist das nur eine Vermutung aus Erfahrung.
Ich bin mir relativ sicher, dass es einen abgefahrenen Ansatz mit mehreren Pythagoras gibt, dann mit 4 oder 8 Lösungen, was für unseren Fall nicht schlimm wäre. Leider finde ich aber nichts, vor allem da mir dazu die Kenntnis geeigneter Webresourcen fehlt. Daher die Frage.
Gruß
achim
Kannst Du einen ersten Ansatz hinschreiben?
Hallo Peter,
da wir kein rechtwinkliges Dreieck haben, ist mir noch immer nicht klar, wie bzw. wo Du den Satz des Pythagoras anwendest. Kannst Du die erste Formel einmal hinschreiben? Keine Angst, die Weiterführung und Auflösung ist dann kein Problem mehr.
Wir haben ein Dreieck mit der bekannten Seite d und dem gegenüberliegenden Winkel Alpha. Die Seiten p und q sind unbekannt. welche Formel setzt Du an, um welche unbekannte zu bestimmen?
Mit dem Sinussatz könnte ich natürlich einen weiteren Winkel bestimmen (als Funktion von q), doch dieser Winkel kommt im zweiten Dreieck nicht vor, und die dann notwendigen Winkelfunktionsgleichungen sind quasi unauflöslich.
Gruß
achim
Gruß
achim
Hallo Achim,
Ohne Skizze versuche ich das mal zu erklären.
Du hast (Zitat geändert) einen Winkel zweier gegenüberliegender Seiten, z.B zwischen b und d. Zur Verdeutlichung : WInkel=0° wäre ein Trapez. (Zitat Ende, Änderungen betreffen die zur Lösung verwendeten Seiten)
Also dieser Winkel gehört nicht zum Viereck, sondern er schließt der Verlängerungen der Seiten b und d ein, das ist meine Interpretation. Vom Schnittpunkt dieser Verlängerungen, dem Scheitelpunkt des Winkels S , führen die Strecken p und q zu den Punkten C und D des Vierecks. Beide Strecken sind unbekannt, aber die Länge der Seite c ist bekannt.
Jetzt lege ich ein Koordinatensystem mit der x- Achse längs der Strecke p. Der Punkt C hat dann die Koordinaten (p;0). Der Punkt D hat die Koordinaten (q*cos(alpha); q*sin(alpha)). Der Abstand ist die Strecke c. Oder nach dem „Abstands- Pythagoras“
(p- q*cos(alpha))^2 + (0 - q*sin(alpha))^2) = c^2
oder umgeformt
p^2 – 2*p*q*cos(alpha) + q^2 = c^2
das ist die erste Gleichung
Dann machst du das Gleiche mit der Strecke a
Der Punkt A hat dann die Koordinaten (p+d;0). Der Punkt B hat die Koordinaten ((q+b)*cos(alpha); (q+b)*sin(alpha)). Der Abstand ist die Strecke a. Darauf wendest du wieder den „Abstands- Pythagoras“ an und bekommst die zweite Gleichung für die Unbekannten p und q
((p+d)- (q+b)*cos(alpha))^2 + (0 - (q+b)*sin(alpha))^2) = a^2
das ist die zweite Gleichung.
Zwei Gleichungen zwei Unbekannte. Das ist lösbar.
Nach der Lösung ist das Dreieck DCS bestimmt, die Winkel SDC und SCD ergeben sich aus dem Sinussatz. Damit sind auch zwei weitere Winkel des Vierecks bestimmt. Das dürfte ausreichen um das Viereck vollständig zu beschreiben.
Gruß
Peter
Vielen Dank
Hallo Peter,
vielen Dank! Dein Ansatz ist plausibel und einfach, da trigonometrische Funktionen nicht auf unbekannte angewandt werden! Habe das zwar noch nicht ausmultipliziert (ist für die Arbeit, habe heute WE), weiss also auch noch nicht, wieviele Lösungen es geben wird, aber sicher nicht zuviele.
Geht um die analytische Berechnung der Position eines Lemniskatengetriebes (statt Apporximation). Bei uns haben sich mehrere Uni-Mathe-II.Absolventen incl. eines Mathematikers über Wochen die Zähne ausgebissen. Es scheiterte halt jedes Mal an der Auflösung von Unbekannten in Sinus oder Cosinus.
Deine Zeichnung habe ich zwar direkt verstanden. Ich hab nur völlig übersehen, Pythagoras auf c als Hypothenus anzuwenden. Einfach, direkt, einleuchtend (wenn mans weiss:wink:, wäre ich in 10 Jahren nicht drauf gekommen!.
Nochmals vielen Dank!!
Gruß und schönes Wochenende
achim
Hallo Achim,
das ist nur eine Gl. für eine Unbekannte. Ich werde am WE mal probieren, sie zu lösen.
Grüße von Ph33
Hallo Peter,
Ohne Skizze versuche ich das mal zu erklären.
gehst du bei deiner Erklärung von der üblichen Bezeichnungsmethode aus, d.h.:
Eckpunkte werden entgegen des Uhrzeigersinns fortlaufend mit A-D und Seiten analog dazu nachfolgend den Eckpunkten, ebenfalls im Gegenuhrzeigersinn und fortlaufend, mit a-d, bezeichnet?
Gruß
Pontius
Hallo,
ich habe einen anderen Ansatz verfolgt, indem ich Gleichungen aufgestellt habe, die die x- und y-Koordinaten der Punkte miteinander verknüpfen. Das konnte ich dann tatsächlich bis zum Ende durchrechnen.
Zunächst eine Skizze zur (natürlich wie immer maximal günstigen) Wahl des Koordinatensystems, der Benennung der Viereckpunkte A, B, C, D sowie jener der Viereckseiten a, b, c, d:
^
y | \_--
| \_---¯
| \_---¯
| b \_(B)¯
| \_---¯ \_
| \_(C)¯ \_ a
| \_---¯ \ \_
| \_---¯ \ c \_
| \_--¯ phi \ \
+--------------------(D)---------------(A)------\>
d x
Der gegebene Winkel, den die BC-Gerade mit der x-Achse einschließt, sei φ. Dann haben die Punkte B und C die Koordinaten B(xB | m xB) beziehungsweise C(xC | m xC) worin ich mit m := tan φ die Steigung der BC-Geraden bezeichnet habe.
Damit kann ich folgende vier Gleichungen aufstellen:
(1)\quad a^2 = (x_A - x_B)^2 + (m x_B)^2
(2)\quad b = \sqrt{m^2 + 1} : (x_B - x_C)
(3)\quad c^2 = (x_D - x_C)^2 + (m x_C)^2
(4)\quad d = x_A - x_D
Dass (4) trivial ist und welcher berühmte Mathematiker der griechischen Antike hinter (1) bis (3) steckt, ist unschwer zu erkennen.
Jetzt gilt es, dieses Gleichungssystem durch Eliminierung von Variablen – im Idealfall bis nur noch eine übrig ist – aufzulösen. Ich nehme vorweg, dass die Eliminierung die Variablen xA, xB und xD betrifft, d. h. ich leite eine Gleichung her, die nur noch xC enthält.
Ich starte mit folgenden Umformungen von (2), (3) und (4):
x_B = x_C + h
\quad\quad\textnormal{mit}\quad
h := b/\sqrt{m^2 +1}
x_D - x_C = \sqrt{c^2 - m^2 {x_C}^2}
x_A = x_D + d
Diese Umformungen zielen darauf ab, zunächst xA und xB in (1) entsprechend zu ersetzen und danach auf diese Weise auch mit der Differenz xD – xC zu verfahren. Das führt auf:
a^2 = (x_D + d - x_C - h)^2 + (m (x_C + h))^2
a^2 = (\sqrt{c^2 - m^2 {x_C}^2} + d - h)^2 + m^2 (x_C + h)^2
Das ist die oben erwähnte Gleichung, die nur noch xC als einzige Unbekannte enthält. Für eine effiziente Auflösung dividiere ich sie zunächst durch m² …
\Big(\frac{a}{m}\Big)^2 = \Big(\sqrt{\Big(\frac{c}{m}\Big)^2 - {x_C}^2} + \frac{d - h}{m}\Big)^2 + (x_C + h)^2
…und kürze danach soviel wie möglich ab gemäß t = x_C und \alpha = a/m und \gamma = c/m und \vartheta = (d-h)/m. Dann sieht’s schon freundlicher aus:
\alpha^2 = (\sqrt{\gamma^2 - t^2} + \vartheta)^2 + (t + h)^2
Nach dem Auflösen der Klammern hebt sich sogar ein –t² mit einem t² weg und wenn man alles Bekannte auf die rechte Seite schreibt, nimmt das Ding diese Form an:
\vartheta \sqrt{\gamma^2 - t^2} + ht = \frac{1}{2} (\alpha^2 - \gamma^2 - h^2 - \theta^2)
Ich kürze die rechte Seite mit (weil der Term die Dimension einer Fläche hat:smile: F ab, subtrahiere anschließend auf beiden Seiten ht und quadriere:
\vartheta \sqrt{\gamma^2 - t^2} + ht = F
\vartheta \sqrt{\gamma^2 - t^2} = F - ht
\vartheta^2 (\gamma^2 - t^2) = F^2 - 2Fht + h^2 t^2
Das Aufräumen nach t-Potenzen bringt – schau, schau – eine quadratische Gleichung für t zum Vorschein:
(\vartheta^2 + h^2) t^2 - 2Fh t + F^2 - \vartheta^2 \gamma^2 = 0
Da quadratische Gleichungen im allgemeinen zwei Lösungen haben, kann man jetzt schon ahnen, dass das Viereck mit den gegebenen Informationen nicht eindeutig bestimmt ist, sondern dass es immer je zwei Vierecke gibt. Dies ist auch tatsächlich so.
Das Anwenden der pq-Formel auf die quadratische Gleichung liefert:
t^\pm = \frac{Fh}{f} \pm \sqrt{\Big(\frac{Fh}{f}\Big)^2 - \frac{F^2 - \vartheta^2\gamma^2}{f}}
Das kann man unter Verwendung von f - h^2 = \vartheta^2 umformen zu
t^\pm = \frac{1}{f} \Big(Fh \pm \vartheta \sqrt{\gamma^2 f - F^2}\Big)
\quad\quad[\ast]
Fertig! 
Alles nochmal zusammengefasst ergibt sich folgendes Programm:
(i) Berechne die Hilfsgrößen
m = \tan\varphi,
\quad
h = \frac{b}{\sqrt{m^2 + 1}},
\quad
\alpha = \frac{a}{m},
\quad
\gamma = \frac{c}{m},
\quad
\vartheta = \frac{d-h}{m}
sowie
f = \vartheta^2 + h^2
\quad\textnormal{und}\quad
F = \frac{1}{2} (\alpha^2 - \gamma^2 - f)
(ii) Berechne die beiden Lösungen t± der quadratischen Gleichung [\ast].
(iii) Dann haben die Eckpunkte der beiden Vierecke diese Koordinaten („t“ jeweils als t± lesen):
A (t + s + d 
: 0)
B (t + h : m (t + h))
C (t : m t)
D (t + s : 0)
wobei s = \sqrt{c^2 - m^2 t^2}.
Aus den Koordinanten der Eckpunkte kann man natürlich alle Informationen gewinnen, die man haben möchte, also Abstände, Innenwinkel usw.
Ich habe mit dem Ansatz von Peter_57 noch auf die Schnelle eine Seite vollgekritzelt und bin zu der Erkenntnis gelangt, dass sein Gleichungssystem ebenfalls lösbar ist. Vom Rechenaufwand dürfte es sogar vergleichbar sein. Sein Ansatz als solcher gefällt mir persönlich allerdings besser als meiner, weil er koordinantenunabhängig ist.
Geht um die analytische Berechnung der Position eines Lemniskatengetriebes
Hört sich aufregend an
Gruß
Martin
Hallo,
die Gleichung umzuformen ist wirklich nichts Besonderes, und die quadratische Gleichung zu lösen auch nicht. Man braucht allerdings ein genügend großes Stück Papier, da die Ausdrücke umfangreich werden.
Mit sin(beta) kennt man auch c*sin(beta), und damit kann man das Viereck konstruieren.
Viele Grüße von Ph33
Hallo,
wenn es jetzt noch jemanden interessiert, könnte ich noch meine Lösung hier einstellen.
Viele Grüße von Ph33
Hallo Achim,
nachdem hier wohl Lösungen gefunden wurden möchte ich aber doch noch einen anschaulichen
Lösungs ansatz einbringen, welcher meiner Ansicht nach nicht einfacher geht.
http://www.imagebanana.com/view/gxw58xih/viereck.png
Das Problem für mich ist hier die „Umstellung“ der Formel nach by.
Vielleicht suche ich einen zu einfachen Weg.
Aber manche Mathe-Experten können dies vielleicht „mit links“.
Gruß VIKTOR
Hallo
wenn es jetzt noch jemanden interessiert, könnte ich noch
meine Lösung hier einstellen.
ja, es interessiert mich.
Oben habe ich einen „einfachen“ Lösungsansatz eingebracht (Antwort an Achim), der mit der
Lösung der Gleichung für mich nicht „einfach“ ist.
Vielleicht kannst du ja die Gleichung lösen.Den Link zur Skizze hier nochmals:
http://www.imagebanana.com/view/gxw58xih/viereck.png
Gruß VIKTOR
