Vollständige Induktion

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo ich hab hier 2 Aufgaben zur vollständigen Induktion die ich auch schon gelöst habe. Bin mir aber nicht sicher ob es stimmt. Wäre toll wenn sich das wer anschaut.

Also Nr 1:

Die Behauptung:
n^2 > n+1 \qquad \forall n \geq 2

Der Induktionsanfang:
2^2 > 2+1
4 > 3

Der Induktionsschritt:
(n+1)^2>n+2
n^2+2n+1>n+2 \qquad \mid -1
n^2+2n>n+1
n^2+2n>n^2>n+1

Und Nr 2:

Die Behauptung:
n^2 \geq 2n+3 \qquad \forall n \geq 3

Der Induktionsanfang:
3^2 \geq2 \cdot3 + 3
9 \geq 9

Der Induktionsschritt:
(n+1)^2\geq 2(n+1)+3
n^2+2n+1\geq 2n+5\qquad \mid -2{n}
n^2+1\geq 5\quad\quad\quad\qquad\quad\mid -1
n^2 \geq 4

Jetzt noch der Beweis das:n^2\geq 4 gilt.

Der Induktionsanfang:
3^2\geq 4
9\geq 4

Der Induktionsschritt:
(n+1)^2 \geq 4
(n+1)^2=n^2+2n+1>n^2 \geq 4

Danke schonmal im voraus.

#2

Hallo :smile:

Ist bei mir schon was her, aber ich hoffe, ich kann dir was helfen :wink: Ich denke, dass deine Induktion richtig sind :wink: Bei dem ersten Beweis würde ich die letzte Zeile jedoch anders schreiben, da es besser verständlich ist:

statt
n^2+2n >n^2 >n+1 würde ich n ausklammern, dann sieht man es direkt.
n(n+2)> n+1 [für alle n(größergleich) 2]

Bei der 2. Aufgabe brauchst du den zweiten Induktionsschritt nicht zu machen, da du sagen kannst, dass für alle n (größergleich) 3n n2(größergleich 4) richtig ist :wink:

Liebe Grüße, lalelu :smile:

#3

Vielen Dank

#4

Du solltest es eher so formulieren:
1)
IA: 2^2 = 4 > 3 = 2+1 --> damit gezeigt für n=2
IS: (n+1)^2 = n^2+2n+1 > n+1 +2n+1 (wegen Beh.) = n+2 +2n > n+2 (da n>0) --> damit gezeigt für n+1

IA: 3^2 = 9 = 2*3 + 3 --> samit gezeigt für n=3
IS: (n+1)^2 = n^2+2n+1 >= 2n+3 + 2n+1 (wegen Beh.) > 2n+5 (da n>0.5) --> damit gezeigt für n+1

#5

Vielen Dank.

#6

Hallo Tux86,
bedauerlicherweise habe ich mich bisher weder in meiner Schulischen noch in meiner Studentischen Ausbildung mit mathematischer Beweisführung auseinandergesetzt. Das einzige, was ich zu Ihrer Frage beantworten kann, ist, dass ich nachdem ich mich kurz in das Thema eingelesen habe und ihre Schritte überprüft habe, keinen Fehler finden konnte.

Mit freundlichen Grüßen

#7

Hallo Tux86,

bei Induktionsbeweisen musst du immer einem festen Schema folgen, das wie folgt aufgebaut ist.

  1. Induktionsanfang
  2. Induktionshypothese
  3. Induktionsschritt
    Im Induktionsschritt musst du dann die Induktionshypothese verwenden.
    Am Ende vom ersten Beweis steht bei dir > n + 1.
    Aufgrund des Induktionsschrittes wäre es wünscheswert wenn da > n + 2 stehen würde.
    Genauso bei der Aufgabe 2. Da sollte dann
    > 2(n + 1) + 3
    stehen. Deine Beweisführung ist nicht ganz sauber durchgeführt. Ich habe hier einen Vorschlag, der so stimmen müsste. Wie ich sehe hast du Latex, deswegen poste ich mal den Code, den kannst dann einfach übersetzen.

\documentclass[paper=a4,11pt,oneside]{article}

% math
\usepackage{mathtools}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amssymb}

\usepackage{ngerman}
\usepackage[german,ngerman]{babel} % Deutsch und Englisch
\usepackage[utf8]{inputenc} % FüŸr Windows

\begin{document}

\thispagestyle{empty}

\subsection*{Nr. 1}

\underline{Beh.}:
$\qquad n^2 > n+1 \qquad \forall n \geq 2$
\
\textbf{Beweis}
\
\underline{Induktionsanfang}:
$\quad n = 2:blush:
\begin{align*}
2^2 = 4 > 3 = 2+1 \checkmark
\end{align*}
\underline{Induktionshypothese}:
Beh. gelte für ein $n \geq 2$.
\
\underline{Induktionsschritt}:
$\quad n \mapsto n+1$
\begin{align*}
(n+1)^2 &= n^2 + 2n + 1\
&\overset{\text{IH}}{>} n+1 + 2n + 1\
&= 3n + 2\
&\overset{n \geq 2}{>} n + 2
\end{align*}
$\Rightarrow$ Beh.

\subsection*{Nr. 2}

\underline{Beh.}:
$\qquad n^2 \geq 2n+3 \qquad \forall n \geq 3$
\
\textbf{Beweis}
\
\underline{Induktionsanfang}:
$\quad n = 3:blush:
\begin{align*}
3^2 = 9 >= 9 = 2 \cdot 3 + 3 \checkmark
\end{align*}
\underline{Induktionshypothese}:
Beh. gelte für ein $n \geq 3$.
\
\underline{Induktionsschritt}:
$\quad n \mapsto n+1$
\begin{align*}
(n+1)^2 &= n^2 + 2n + 1\
&\overset{\text{IH}}{\geq} 2n + 3 + 2n + 1\
&= 2(n+1) + 2n + 2\
&\overset{n \geq 3}{\geq} 2(n+1) + 3
\end{align*}
$\Rightarrow$ Beh.

\end{document}}

Hoffe das hat geholfen.

Viele Grüße,

Peter.

#8

Vielen Dank…

#9

Habe die Aufgaben mit vollst. Induktion gelöst. Liegt als WORD Dok. bei mir vor. Weiß nicht , wie ich es hier einbringe. Bitte um Tipp
mfg. Werner Kappallo

#10

Trotzdem Danke

#11

Danke Sehr nett.
Könnten Sie mir das Word Dok. mit als E-Mail schicken?
Meine Adresse: [email protected]

Habe die Aufgaben mit vollst. Induktion gelöst. Liegt als WORD
Dok. bei mir vor. Weiß nicht , wie ich es hier einbringe.
Bitte um Tipp
mfg. Werner Kappallo

#12

Also soweit ich das beurteilen kann, sieht das sehr gut aus. Ggf. liesse sich beim zweiten Beweis am Ende noch die Induktionsbehauptung einsetzen, dann stünde da:

n^2 >= 4
2n + 3 >= 4
2n >= 1
n >= 1/2

#13

Vielen Dank…

#14

Gern geschehen.

Vielen Dank

#15

Gern geschehen

Vielen Dank