Hallo,
was ist eigentlich der Unterschied zwischen einem
vollständigen und einem abgeschlossenen (metrischen) Raum?
Gruß
Oliver
Vollständigkeit | Abgeschlossenheit
Hallo Oliver,
Du interessierst Dich ja für 'ne ganze Menge 
was ist eigentlich der Unterschied zwischen einem
vollständigen und einem abgeschlossenen (metrischen) Raum?
Vollständig kann nur ein Raum sein, abgeschlossen sowohl der Raum als
auch Teilmengen von ihm.
Ein Raum heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge gegen einen Punkt dieses
Raums konvergiert. Der Grenzpunkt muß selbst zum Raum gehören.
Standardbeispiel: Eine Folge rationaler Zahlen kann gegen eine irrationale
Zahl konvergieren. Das zeigt, daß die Menge der rationalen Zahlen unvollständig ist. In diesem Sinn ist Q „löchrig“.
Da jede Cauchy-Folge reeller Zahlen gegen eine reelle Zahl konvergiert,
ist die Menge der reellen Zahlen vollständig. In diesem Sinn ist R „ein Kontinuum“.
Ich bin mir da nicht mehr sicher: genau wenn in einer Teilmenge des Raums
jede Cauchy-Folge, die ganz in dieser Teilmenge liegt, gegen einen Punkt aus
dieser Teilmenge konvergiert, dann ist die Teilmenge kompakt.
Kompakte Mengen sind nicht schon abgeschlossen. Richtig
ist die Behauptung in jedem R^n mit der Standard-Topologie (jede kompakte
Teilmenge aus R^n ist beschränkt und abgeschlossen).
Der Raum ist per definitionem abgeschlossen (der Raum ist auch zugleich offen).
Dem Raum eine Topologie geben, heißt, zu erklären, welche Mengen als offen gelten (wobei die topologischen Axiome zu erfüllen sind).
Gruß
Stefan
Hallo Stefan,
irgendwie hab ich schon geahnt, dass du antwortest
Erstmal Danke für die Antwort.
Inzwischen hab ich schon selbst was im Internet gefunden:
eine Teilmenge M eines metrischen Raumes A heißt abgeschlossen, falls der Grenzwert jeder konvergenten Folge mit Werten aus M wiederum in M liegt.
eine metrischer Raum M heißt vollständig, falls jede Cauchy-Folge mit Werten aus M wieder in M liegt.
Also: für die Abgeschlossenheit betrachtet man konvergente Folgen eines größeren Raumes. Und für die Vollständigkeit betrachtet man Cauchy-Folgen des selben Raumes. Das dürfte der wesentliche Unterschied sein.
Also macht der Begriff der Abgeschlossenheit nur für Teilräume Sinn, weil der Raum selbst ja trivialer Weise immer abgeschlossen ist. Außerdem ist der Begriff der Vollständigkeit stärker als der der Abgeschlossenheit: Jeder vollständige Teilraum ist abgeschlossen, aber nicht umgekehrt.
Nur wenn ein größer vollständiger Raum existiert, dann sind die beiden Begriffe für jeden Teilraum äquivalent.
Ich glaub, so kann man das stehen lassen.
Dem Raum eine Topologie geben, heißt, zu
erklären, welche
Mengen als offen gelten
Das hört sich gut, werd ich mir merken.
Nochmals Danke!
Gruß
Oliver
abgeschlossen vs. kompakt
Hallo Oliver,
irgendwie hab ich schon geahnt, dass du antwortest
ja, - aber beim linearen Operator war deconstruct schneller… 
eine Teilmenge M eines metrischen Raumes A heißt
abgeschlossen, falls der Grenzwert jeder konvergenten Folge
mit Werten aus M wiederum in M liegt.
bist Du sicher, daß diese Bedingung nicht sogar Kompaktheit bedeutet?
Abgeschlossen ist ja eine Menge zunächst einmal, wenn sein Komplement offen ist.
Vollständigkeit stärker als der der Abgeschlossenheit: Jeder
vollständige Teilraum ist abgeschlossen, aber nicht umgekehrt.
hier muß man wohl statt „vollständig“ „kompakt“ sagen -
vollständig kann nur der Raum sein.
Gruß
Stefan
Hai,
eine Teilmenge M eines metrischen Raumes A heißt
abgeschlossen, falls der Grenzwert jeder konvergenten Folge
mit Werten aus M wiederum in M liegt.bist Du sicher, daß diese Bedingung nicht sogar Kompaktheit
bedeutet?
Ja. Denn für die Kompaktheit braucht man noch die
Beschränktheit.
Abgeschlossen ist ja eine Menge zunächst einmal, wenn sein
Komplement offen ist.
ja, aber für metrische Räume kann man auch das oben genannte
Folgenkriterium benutzen.
Gruß
Oliver