Volumen eines elliptischen Kegelstumpfes

[Salomo]

Hallo,

ich suche eine Volumenformel. die sich analog zum Volumen des Kreiskegelstumpfes verhält.

Mit Kreiskegelstumpf ist dieses Gebilde gemeint:

also ein abgeschnittener Kegel, dessen Grundfläche und Deckfläche kreisförmig sind, parallele Ebenen bilden und konzentrisch übereineinander liegen.

Das Volumen zwischen Grundfläche, Deckfläche und Mantelfläche (Volumen des Kreiskegelstumpfes) errechnet sich wie hier angegeben:

https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c30956416bd59dd6a86cd446294066a7b175f9a2

Jetzt suche ich nach einer Volumenformel, die analog für den Kegelstumpf gilt - d.h. für einen Kegelstumpf, der von einer ellispsenförmigen Grund- und Deckfläche begrenzt wird. Die Ellipse müsste dort statt durch den Radius durch die Ellipsenachsen charakterisiert werden.

Kennt jemand so ein Volumenformel?

Viele Grüße!

[Martin]

Hallo,

wo liegt das Problem? Du brauchst eigentlich nur zu wissen, dass die bekannte Volumenformel V_Kegel = 1/3 G h für jeden Kegel gilt (G = Grundfläche, h = Kegelhöhe) und dass der Flächeninhalt einer Ellipse abπ groß ist (a, b = die Halbachsenlängen). Das Kegelstumpf-Volumen ergibt sich natürlich einfach als Differenz zweier Kegelvolumina, nämlich jenem des ganzen Kegels minus jenem der abgeschnittenen Kegelspitze.

Alles zu einer Fertigformel zusammenrühren darfst Du bei Bedarf selbst machen :–)

Gruß
Martin

[Metapher]

Hallo Martin,

Alles zu einer Fertigformel zusammenrühren darfst Du bei Bedarf selbst machen

und diese Fertigformel für das Ellipsenkegelstumpfvolumen gestaltet sich allerdings ein wenig tricky, wenn (natürlich neben den Halbachsen) nur die Höhe h des Kegelstumpfes gegeben ist, aber nicht die Gesamthöhe

Gruß
Metapher

[Zerschmetterling]

und diese Fertigformel für das Ellipsenkegelstumpfvolumen gestaltet sich allerdings ein wenig tricky, wenn (natürlich neben den Halbachsen) nur die Höhe h des Kegelstumpfes gegeben ist, aber nicht die Gesamthöhe

Du kannst aber aus beidem ein rechtwinkeliges Dreieck (a,b,c) konstruieren. a = h, b = x1-x2 (x sei eine der Ellipsenachsen jeweils am boden und am deckel), c ergibt sich aus dem Pythagoras und schon hast du die Winkel alpha und beta.

Daraus kannst du ein weiteres rechtwinkeliges Dreieck konstruieren, mit b = x1 und den beiden Winkeln.

Damit bekommst du dann das gesamt H raus.

[Metapher]

Du kannst aber aus beidem …

Ich hab ja nicht gesagt, daß ich es für mich ein Problem ist, eine Volumenformel für dem Ellipsenkegelstumpf herzuleiten. Und um eine solche geht es ja. Nur ist sie für den UP wohl um einiges komplexer als die für den Kreiskegelstumpf. Denn sie soll ja statt allein der Größen R, r und h wie beim Kreiskegelstumpf, ebenfalls nur die Größen der beiden Halbachsenpaare und der Stumpfhöhe enthalten,

Übrigens braucht man den Umweg über die Winkel gar nicht. Ebenso wie beim Kreiskegel läßt sich die Gesamthöhe mit dem Strahlensatz aus der Volumenformel eliminieren. Nur ist es nicht so simpel wie bei der → Ableitung der Kreiskegelformel.

[Metapher]

Hallo,

den Ausgangspunkt der Formel-Ableitung hat Martin ja bereits erklärt.

Es folgt:

Mit
h = Höhe des Stumpfes
A, B = Halbachsen der Grundfläche
a, b = Halbachsen der Deckfläche
und nach Voraussetzung: a/b = A/B

folgt (mit Strahlensatz und geeigneter Zusammenfassung)
V = hπ/3 · (A²B - a²b) / (A-a)
oder identisch
V = hπ/3 · (AB² - ab²) / (B-b)

Gruß
Metapher

[Salomo]

Vielen Dank für alle Tipps - hat mir sehr weitergeholfen!

[Martin]

Hallo,

prima :–) Deine Formeln leisten das vom Fragesteller Verlangte, aber zu einer wirklich schönen gelangt man erst, wenn man die Redundanz im Parametersatz (h, A, B, a, b) zur Beschreibung des Ellipsenkegelstumpfes beseitigt. Sie rührt daher, weil A, B, a und b nicht unabhängig voneinander sind: Man kann nur (irgendwelche) drei Parameter aus diesem Set frei wählen, aber der vierte ist dann über a/b = A/B (Deckel- und Bodenellipse sind ähnlich zueinander) festgelegt.

Als Konsequenz aus dieser Gleichung sind auch die Verhältnisse a/A und b/B identisch. Sie geben an, um wieviel kleiner die Halbachsen der Deckelellipse gegenüber jenen der Bodenellipse sind, und bieten sich als Definition für einen neuen Parameter λ an: λ := a/A = b/B. Durch den Parametersatz (h, A, B, λ) wird ein Ellipsenkegelstumpf ebenso eindeutig beschrieben wie durch (h, A, B, a, b), aber der neue mit dem λ ist nicht mehr redundant.

Die entsprechende Ellipsenkegelstumpfvolumenformel ergibt sich mit ein wenig (einfacher) Rechnerei zu

V = 1/3 ABπ (λ² + λ + 1) h

In dieser „schönen“ Variante der Lösung treten z. B. auch A und B symmetrisch auf.

Musste ich noch loswerden… :–)

Gruß
Martin

[Metapher]

Frustology

Hallo Martin,

toll, diese Lösung

V = 1/3 ABπ (λ2 + λ + 1) h
In dieser „schönen“ Variante der Lösung treten z. B. auch A und B symmetrisch auf.

ist natürlich um Meilen eleganter. Gratuliere!
Mich hatte die Redundanz auch gestört, zumal sie ja zwei verschiedene, wenn auch symmetrische Formulierungen erfordert. Aber diese Nacht wollte mein Bleistift einfach nicht weiter

Deine beauty-Lösung hat o.B.d.A. einen klitzekleinen Nachteil: Der Kegel wird i.d.R. wohl kaum durch {h,A,B,λ} gegeben sein, eher durch {h,A,B,a} bzw. {h,A,B,b}, so daß λ erst aus einem ersten Rechenschritt folgt. Schon allein, weil es ja die Def. „λ = a/A“ erfordert.

Übrigens die Kreiskegelstumpfvolumenformel

V = hπ/3 (R² + Rr +r²)

verschönt sich mit λ = r/R ebenfalls zu

V = hπ/3 R² (λ² + λ + 1)

Schönen frustologischen Gruß
Metapher

[Martin]

Hallo Metapher,

[…] so daß λ erst aus einem ersten Rechenschritt folgt.

ja. Wer das umgehen will, kann aber

λ² = λ · λ = a/A · b/B = (ab)/(AB)

schreiben und λ als √(λ²) ausdrücken (die Tricks nehmen kein Ende hier…).

Dann wird meine Formel zu

1/3 ABπ ((ab)/(AB) + Wurzel((ab)/(AB)) + 1) h

und durch Reinmultiplizieren des vorne stehenden AB in die Klammer geht sie über in

1/3 π (AB + Wurzel(ABab) + ab) h

Diesen λ-freien (und symmetrischen!) Ausdruck kann man direkt auswerten, jedoch muss man dazu eine Quadratwurzel berechnen.

Und mit diesem Resultat wissen wir auch, wie die Verallgemeinerung der Kreiskegelstumpfvolumenformel

1/3 π (R² + Rr +r²) h

auf Kegelstümpfe mit ellipsenförmigem Boden und Deckel aussieht.

Also ich finde die Frustologie kein bisschen frustrierend, sondern sogar recht interessant :–) Wer weiß, was sie noch an spannenden Einsichten bereithält…

^{Für die anderen Mitleser hier: Metaphers Wortschöpfung „Frustologie“ hat nichts mit Ärger, Unmut oder Verdrossenheit zu tun, sondern „frustum“ ist die englische Vokabel für Kegelstumpf. Solche haben übrigens in der 3D-Computergrafik eine große Bedeutung.}

Gruß
Martin