Volumenberechnung - Kann jemand helfen?

Wissenschaft Physik
#1

Hallo zusammen!
Mir wurde eine Aufgabe gestellt, die mir Probleme beim lösen bereitet…

Ich habe einen Rechteckigen Hohlkörper L=1m, B=1m, H=1m.

In diesen Körper sollen einmal Kugeln mit 16mm Durchmesser und einmal mit 32mm Durchmesser eingefüllt werden.

Jetzt soll ich jeweils den Hohlraum zwischen den Kugeln berechnen. Außerdem das Kugelvolumen das eingefüllt wurde, sowie die Oberfläche der eingefüllten Kugeln.

Am meisten Kopfzerbrechen bereitet mir die Hohlraumberechnung!
Denke ich zu kompliziert?
Wer kann mir bitte helfen??
Viele Grüße
Philipp

#2

Auch hallo.

Hallo zusammen!
Mir wurde eine Aufgabe gestellt, die mir Probleme beim lösen
bereitet…

Ich habe einen Rechteckigen Hohlkörper L=1m, B=1m, H=1m.

Also 1m³ zum Füllen mit Kugeln (im Extremfall)
1m=1000mm -> 1.000.000.000 mm³

In diesen Körper sollen einmal Kugeln mit 16mm Durchmesser und
einmal mit 32mm Durchmesser eingefüllt werden.

Volumen(Kugel) = 4/3*Pi*r³ , r=0,016m oder 0,032m
Im Extremfall also (1m³ / Volumen(Kugel)) = Menge an Kugeln

Jetzt soll ich jeweils den Hohlraum zwischen den Kugeln
berechnen. Außerdem das Kugelvolumen das eingefüllt wurde,

Volume(Kugel)*deren Anzahl

sowie die Oberfläche der eingefüllten Kugeln.

Oberfläche = 4*Pi*r³ *Anzahl Kugeln

Am meisten Kopfzerbrechen bereitet mir die Hohlraumberechnung!
Denke ich zu kompliziert?

Das Problem ergibt sich dadurch, dass die Kugeln nicht aufeinander gestapelt sind, siehe das Titelbild von http://www.wissenschaft-online.de/artikel/784297&tem…
oder den Kugelhaufen von http://www.strunz-design.de/bilder/povray/kugeln-kle… (übrigens eine schöne Seite) Eine dunkle Erinnerung: irgendwo bei 70–80% Kugelraumauslastung müsste man herauskommen…
Ein mathematiches Verfahren wäre die Extremalrechnung.

Wer kann mir bitte helfen??

Leider nur zum Teil…

HTH
mfg M.L.

#3

Hallo,

Ich habe einen Rechteckigen Hohlkörper L=1m, B=1m, H=1m.

Also Volumen Vges = 1m³

In diesen Körper sollen einmal Kugeln mit 16mm Durchmesser und
einmal mit 32mm Durchmesser eingefüllt werden.

Jetzt soll ich jeweils den Hohlraum zwischen den Kugeln
berechnen.

Dazu brauchst du das Volumen einer einzelnen Kugel:
Vk = 4/3 pi r^2

Die dichteste Packung von Kugeln liegt in der sog. hexagonal dichtesten Packung vor mit Volumenfüllfaktor f (such mal mit google nach Füllfaktor, da findest du sicher eine Tabelle mit dem richtigen Zahlenwert).

Die Anzahl der Kugeln ist dann ungefähr:
n = f * Vges / Vk

Außerdem das Kugelvolumen das eingefüllt wurde,

n * Vges

sowie die Oberfläche der eingefüllten Kugeln.

A = n * 4 pi r^2

HTH,
Moritz

#4

Hallo nochmal.

sowie die Oberfläche der eingefüllten Kugeln.

Oberfläche = 4*Pi*r³ *Anzahl Kugeln

–> 4*Pi*r^2 ist korrekt (=Ableitung von Volumen(Kugel))
Volumen(Kugel) ist 4/3 *Pi *r^3

Am meisten Kopfzerbrechen bereitet mir die :Hohlraumberechnung!

Der Begriff ‚Füllfaktor‘ aus dem anderen Beitrag ist schon korrekt, allerdings hat sich dazu keine gute Tabelle finden lassen. Aber diese Dissertation: http://hss.ulb.uni-bonn.de:90/ulb_bonn/diss_online/m…

Eine Sache noch: dieser junge Herr im Beitrag von http://www.wer-weiss-was.de/cgi-bin/www/service.fpl?.. möchte eine Aufbaustudium in Mathematik betreiben. Vielleicht kann noch jemand was dazu sagen ?

mfg M.L.

#5

Füllfaktoren
Hallo

Die Anzahl der Kugeln ist dann ungefähr:
n = f * Vges / Vk

Es gibt zwei Möglichkeiten die Packungsdichte zu maximieren, das eine ergibt die sog. hexagonal dichteste Kugelpackung (hcp-Gitter) und das andere ist die sog. kubisch flächenzentrierte Struktur (fcc-Gitter). In beiden Fällen beträgt der Füllfaktor

f = 0,74

Falls die Kugeln allerdings keine geordnete Struktur bilden und es sich vielmehr um eine lose, zufällige Schüttung handelt, ist der Füllfaktor etwas kleiner und beträgt ca.

f = 0,64

Der Mathematiker nennt so was „random close packing“

Gruß
Oliver

#6

Es gibt zwei Möglichkeiten die Packungsdichte zu maximieren,
das eine ergibt die sog. hexagonal dichteste Kugelpackung
(hcp-Gitter) und das andere ist die sog. kubisch
flächenzentrierte Struktur (fcc-Gitter). In beiden Fällen
beträgt der Füllfaktor

f = 0,74

Falls die Kugeln allerdings keine geordnete Struktur bilden
und es sich vielmehr um eine lose, zufällige Schüttung
handelt, ist der Füllfaktor etwas kleiner und beträgt ca.

f = 0,64

Der Mathematiker nennt so was „random close packing“

Gruß
Oliver

Hallo,

das Ganze gilt sowieso nur für unendlich grosse Schachteln. Ist das nicht der Fall, geht Füllung verloren, wenn der Platz für eine weitere Kugel daneben nicht ausreicht. D.h. in allen realen Fällen ist der Füllgrad kleiner oder gleich dem maximalen - gleich nur dann, wenn man die Schachtelflächen zwischen den Kugeln durchziehen könnte, was aber bei den obigen Packungen nicht möglich ist, ohne Kugeln zu halbieren. Diese halben fehlen also, oder das Ganze ordnet sich um.

Gruss Reinhard

#7

das Ganze gilt sowieso nur für unendlich grosse Schachteln.

Korrekt formuliert lautet die Bedingung, dass r/a

#8

Danke, danke für die vielen Antworten!!
Hallo!
Vielen Dank für die vielen -zum Teil sehr ausfürlichen- Antworten!!
Gruß
Philipp