Man hat die Wahrscheinlichkeit schon gegeben und man hat auch die Anzahl der Sachen gegeben, also z.B. es gibt 20 Kuchen und in den Teig gibt man Geld und man möchte berechnen, wieviel Geld man in den Kuchenteig tun muss, um 80% Sicherheit, dass in jedem Kuchen ein Geldstück ist, zu haben. Wie berechnet man das? Ansatz reicht. Dankeschön
Die Wahrscheinlichkeit beträgt 8/10
also kommen auf 20 Kuchen 16 Münzen =>16/20
hi,
Die Wahrscheinlichkeit beträgt 8/10
also kommen auf 20 Kuchen 16 Münzen =>16/20
16 münzen decken mit 100% sicherheit nicht 20 kuchen ab. (die frage war ja, wie viele münzen es sein müssen, dass mit 80% „sicherheit“ in jedem kuchen eine münze ist.)
m.
Hi,
wenn in jedem Kuchen wenigstens eine Münze ist, dann kann man pro Kuchen eine Münze aus dem Spiel nehmen.
Du musst also die Varianten, m-k Münzen auf k Kuchen zu verteilen ins Verhältnis setzen zu den Varianten, m Münzen auf k Kuchen zu verteilen.
Letztere Aufgabe kann man sich so vorstellen, dass man m Münzen hat, dazu k-1 Markiersteine und (m+k-1) Löcher in einer Reihe. Die Münzen und Steine verteilt man zufällig auf die Löcher. Die Münzen von links bis zum ersten Marker gehen dann in den ersten Kuchen, die zwischen erstem und zweitem in den zweiten Kuchen etc., vom letzten Marker bis rechts in den letzten Kuchen. Diese Konstruktion ist eineindeutig. Man muss also die Anzahl der Varianten bestimmen, k-1 Marker auf m+k-1 Löcher zu verteilen.
Insgesamt ergibt sich also (s. Binomialkoeffizienten)
(m-1 über k-1)/(m+k-1 über k-1)
als die Wahrscheinlichkeit, dass bei der zufälligen Zuordnung von m Münzen zu k Kuchen jeder der Kuchen wenigstens eine Münze abbekommt.
Das nach m aufzulösen ist nicht ganz einfach.
Gruß, Lutz
- guten abend.
Man hat die Wahrscheinlichkeit schon gegeben
welche?
und man hat auch
die Anzahl der Sachen gegeben, also z.B. es gibt 20 Kuchen und
in den Teig gibt man Geld und man möchte berechnen, wieviel
Geld man in den Kuchenteig tun muss, um 80% Sicherheit, dass
in jedem Kuchen ein Geldstück ist, zu haben.
die formulierung ist mir an sich sehr unklar. ich nehme an, dass es um das bekannte kuchen-rosinen-problem geht und mit „geld“ geldstücke („rosinen“) gemeint sind.
ich versteh das im moment so:
wenn du n rosinen zur verfügung hast, wiederholst du den versuch, eine rosine in einem bestimmten kuchenstück unterzubringen, n mal, und zwar mit gleicher wahrscheinlichkeit. die wiederholung eines versuchs mit gleicher wahrscheinlichkeit führt zur binomialverteilung.
die wahrscheinlichkeit für eine rosine in eines der 20 stücke kuchen zu geraten, ist (wenn diese kuchen gleich groß sind usw.), 1/20 = 0,05. gegenwahrscheinlichkeit ist 19/20 = 0,95.
hast du 20 rosinen, ist die wsk, dass in einem kuchen keine rosine ist (= wsk für 0 „erfolge“) (19/20)^20 = 0,3584…
hast du 21 rosinen, ist die wsk, dass in einem kuchen keine rosine ist (= wsk für 0 erfolge) (19/20)^21 = 0,3405…
hast du n rosinen, ist die wsk, dass in einem kuchen keine rosine ist, (19/20)^n
das soll kleiner als 20% sein (dann ist mit 80% wsk in jedem kuchen mindestens 1)
also:
0,95^n log(0,2)/log(0,95) = 31,377…
also musst du mindestens 32 rosinen verwenden.
m.
Hi,
der Ansatz ist der bessere als mein erster unten (wo 1703 Münzen rauskommt), die Lösung ist trotzdem falsch. Mit 32 Rosinen kommt man auf etwa 5% Wahrscheinlichkeit.
Deine Formel gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit sich im ersten Kuchen wenigstens eine Münze befindet, d.h. Du ziehst von 1 die Wahrscheinlichkeit ab, dass alle Münzen in den 19 anderen Kuchen enthalten sind.
Die korrekte Formel (die sich auch mit der Simulation deckt), ist
p_m=\sum_{j=0}^k \binom{k}{j}(-1)^j\left(1-\frac jk\right)^m
Man kann dazu eine einfache erzeugende Funktion angeben, das war es dann aber auch mit einfach:
\sum_{m=0}^\infty p_m\frac{t^m}{m!}=\left(e^{\frac tk}-1\right)^k
Die 80% werden mit 89 Münzen erstmals überschritten.
Gruß, Lutz
hi,
der Ansatz ist der bessere als mein erster unten (wo 1703
Münzen rauskommt), die Lösung ist trotzdem falsch. Mit 32
Rosinen kommt man auf etwa 5% Wahrscheinlichkeit.Deine Formel gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit sich im
ersten Kuchen wenigstens eine Münze befindet, d.h. Du ziehst
von 1 die Wahrscheinlichkeit ab, dass alle Münzen in den 19
anderen Kuchen enthalten sind.
du hast recht; nicht unbedingt im „ersten“ kuchen, aber aus der perspektive eines bestimmten kuchens oder kuchenessers. aber nicht in jedem. ich hatte tatsächlich schwierigkeiten, den text zu verstehen.
es lässt sich eine reparatur anhängen:
wir haben also bei n rosinen die wsk von (19/20)^n, dass irgendein bestimmter kuchen keine rosinen enthält.
damit ist 1 - (19/20)^n die wsk, dass ein bestimmter kuchen rosinen enthält.
wenn alle 20 kuchen rosinen enthalten sollen, ist die wahrscheinlichkeit dafür
(1 - (19/20)^n)^20
und das soll größer als 80% sein.
also:
(1 - (19/20)^n)^20 > 0,8
also:
1 - (19/20)^n > 0,8^(1/20)
also:
1 - 0,8^(1/20) > (19/20)^n
oder:
n > log(1 - 0,8^(1/20)) / log 0,95
ich bekomm da aber n = 88 (und auch das stimmt natürlich zur simulation).
m.
Ja,
die Formel würde sich bei mir auch ergeben, wenn man (1-j/k) näherungsweise durch (1-1/k)^j ersetzt.
An welcher Stelle jetzt Fälle, in denen in mehreren Brötchen nichts ist, doppelt oder gar nicht gezählt werden, ist mir erstmal nicht ersichtlich.
Dass Deine Formel eine Näherung ist ersiehst Du daraus, dass bei 20 oder weniger Münzen trotzdem eine positive Wahrscheinlichkeit rauskommt. Aus der erzeugenden Funktion und (exp(t/k)-1)^k=O(t^k) folgt, dass in meiner Version in diesen Fällen die Wahrscheinlichkeit Null rauskommt. Das ist zwar auch nur ein Indiz,…
Freundlichst, Lutz