Hallo,
kann mir jemand sagen, wie groß die
Wahrscheinlichkeit ist bei zwei Würfen
mindestens eine Drei zu würfeln?
Bei einem Wurf ist sie 1/6. Wenn sie
bei zwei Würfen 2/6 ist, dann würde sich
bei sechs Würfen 6/6 ergeben. Das würde
aber bedeuten, daß man bei sechs Würfen
mit Sicherheit eine Drei dabei hat.
Wo ist mein Denkfehler?
Danke vorab.
Dein Denkfehler ist, daß du die Wahrscheinlichkeiten einfach addierst.
Um dir aber jetzt die Lösung zu liefern ist das ganze bei mir zu lange her.
Nils
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kann mir jemand sagen, wie groß die
Wahrscheinlichkeit ist bei zwei Würfen
mindestens eine Drei zu würfeln?
Die Wahrscheinlichkeit für eine Zahl des Würfels bei einem Wurf ist 1/6, richtig. Für den Fall, daß man mehrmals hintereinander die gleiche Zahl haben will, muß man die Einzelwahrscheinlichkeiten nicht, wie du es gemacht hast, addieren, sondern multiplizieren. Also erhält man für die Wahrscheinlichkeit, die gleiche Zahl x-mal hintereinander zu würfeln: (1/6)^x, sie wird also SEHR schnell kleiner!
Mit Wahrscheinlichkeiten wird in der Tat meistens multipliziert. Bei aufeinanderfolgenden gleichartigen Versuchen gibt es ja immer n ^ m Kombinationen (n = Anzahl Werte, m = Anzahl Versuche), heisst bei 2 Wurf gibt es 6 ^2 = 36 Kombinationen.
Wenn du wissen willst, wieviele davon eine 3 enthalten, gest du besser andersrum vor (sonst brauchst du abhängige Wahrschinlichkeiten - denn ob du ein zweites mal wirfst, ist ja abhaengig davon, ob im ersten Wurf eine gekommen ist !)
-Lösung-
Die Wahrscheinlichkeit beim 1. Versuch keine 3 zu wuerfeln ist 5/6 - beim 2. Mal auch - damit ergibt sich 25/36 in 2 Wuerfen keine 3 zu bekommen -> 1 - 25/36 = 11/36 ist die Wahrscheinlichkeit, eine dabei zu haben.
Das ist ja auch plausibel, denn von den 36 Versuchen hast du
im ersten Wurf ein 3 + 5 *eine andere im zweiten (egal)
5 * eine andere im ersten + 3 im Zweiten = 10 Möglichekiten - und einmal 3 + 3 macht zusammen 11.
Gruss
Dirk
Hallo Mattes,
Die Formel lautet:
p(drei) = p1 + p2 - p1*p2
p(drei) = Wahrscheinlichkeit, mindestens (!) eine Drei zu würfeln,
p1 = Wahrscheinlichkeit einer Drei für Würfel eins,
p2 = dsgl. für Würfel zwei.
Der letzte Term berücksichtigt, dass beide Würfel eine Drei zeigen können, die sogenannte Verbundwahrscheinlichkeit. Die muss natürlich von der Summe abgezogen werden!
Gruss Stucki
Hallo,
probier deine Formel mal mit mehr als sechs Wuerfen (nicht Wuerfeln) aus! Da liegst du dann wieder ueber eins.
Ich schliesse mich Dirk an!
genauer:
P = Anz. guenstiger Ereignisse / Anz. moegl. Ereign.
Anz. moegl.: 6 x 6 = 36
Anz guenst.:
a) im ersten Wurf 3, zweiter Wurf egal = 6 Moeglichkeiten
b) erster Wurf alles ausser 3 (wegen a), zweiter Wurf 3 = 5 Moeglichkeiten
ergibt 6 + 5 = 11
P = 11 / 36
Gruss, Niels
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probier deine Formel mal mit mehr als
sechs Wuerfen (nicht Wuerfeln) aus! Da
liegst du dann wieder ueber eins.
Kein Wunder, die Formel gilt ja auch nur für zwei Würfel. Bei mehr als zwei Würfeln wird es richtig kompliziert. Auf die Schnelle bin ich für n Würfel auf Summe{-n!/[i!(n-i)!(-6)<sup>i</sup>]} (für i=1 bis n) gekommen.
Kein Wunder, die Formel gilt ja auch nur
für zwei Würfel. Bei mehr als zwei
Würfeln wird es richtig kompliziert. Auf
die Schnelle bin ich für n Würfel auf
Summe{-n!/[i!(n-i)!(-6)<sup>i</sup>]}
(für i=1 bis n) gekommen.
Hallo,
das ist viel zu kompliziert! Wieso nimmst du nicht die Formel die Dirk vorgeschlagen hat:
P = 1 - (5/6)^n
Gruss, Niels
Hallo,
das ist viel zu kompliziert! Wieso nimmst
du nicht die Formel die Dirk
vorgeschlagen hat:P = 1 - (5/6)^n
Weil man bei dieser Formel davon ausgeht, daß man mit n Würfen genau eine drei würfelt. Meine Formel ergibt die Wahrscheinlichkeit daß bei n Würfen mindestens eine drei dabei ist, wie es in der ursprünglichen Frage gefordert war. Es werden also auch alle Fälle berücksichtigt, in denen man 2, 3, 4 … oder n Dreien würfelt.
Weil man bei dieser Formel davon ausgeht,
daß man mit n Würfen genau eine drei
würfelt.
Nein! Die Wahrscheinlichkeit GENAU EINE Drei zu wuerfeln liegt bei n/(6^n). Moeglich sind 6^n Faelle, guenstig sind dabei nur n Faelle (nur im ersten Wurf eine Drei ODER nur im zweiten ODER nur im dritten…).
Bei der Formel P = 1 - (5/6)^n wird zunaechst die Wahrsch. fuer die unguenstigen Faelle ausgerechnet (in KEINEM Wurf eine Drei => (5/6)^n ) und das dann von eins abgezogen, weil gilt:
P(unguenst) + P(guenst) = 1
Gruss, Niels
Hast recht, die Formeln sind identisch.
Summe(i=1…n){-n!/[i!(n-i)!(-6)<sup>i</sup>]}=1-[5/6]n
Ist zwar nicht leicht zu beweisen, aber man kann es ausprobieren.
Summe(i=1…n){-n!/[i!(n-i)!(-6)<sup>i</sup>]}=1-[5/6]n
Ist zwar nicht leicht zu beweisen, aber
man kann es ausprobieren.
Sowas habe ich schon vermutet. Aber ich fuerchte, am Beweis werde ich scheitern. Ist schon ein Weilchen her, dass ich mich mit etwas Aehnlichem beschaeftigt habe.
Vielleicht hat ja jemand Zeit und Musse dafuer (und natuerlich das noetige Wissen).
Gruss, Niels
probier deine Formel mal mit mehr als
sechs Wuerfen (nicht Wuerfeln) aus! Da
liegst du dann wieder ueber eins.
Ich schliesse mich Dirk an!
Habe tatsächlich „würfeln“ statt „Würfe“ gelesen. Macht aber nichts mein lieber! Die Formel
p12 = p1 + p2 - p1*p2
gilt immer!!! p1*p2 ist immer die Wahrscheinlichkeit, dass in beiden Würfen (mit jeweils einem Würfel) eine Drei (z.B.) kommt. die muss immer von der Summenwahrscheinlichkeit abgezogen werden!
Das funktioniert auch für beliebig viele Würfe. Für drei Würfe:
p123 = p12 + p3 - p12*p3
Das kann man fortentwickeln, konvergiert für beliebig viele Würfe dann gegen EINS.
Punkt. Aus. Feierabend!
Summe(i=1…n){-n!/[i!(n-i)!(-6)<sup>i</sup>]}=1-[5/6]n
Ist zwar nicht leicht zu beweisen, aber
man kann es ausprobieren.
Dann würfelt man schön!
Stucki
Hallo,
das Problem ist, dass aus deiner Formel fuer zwei Wuerfe die Fortentwicklung nicht sichtbar ist. Die naechstliegende Fortentwicklung waere:
Pn = P1 + P2 +…+ Pn - P1*P2*…*Pn
die Formel
p123 = p12 + p3 - p12*p3
ist bestimmt nicht das, woran man beim Ansatz fuer zwei Wuerfe denkt. Zumal es einfachere Loesungsansaetze gibt (s.u.)
Gruss, Niels
das Problem ist, dass aus deiner Formel
fuer zwei Wuerfe die Fortentwicklung
nicht sichtbar ist. Die naechstliegende
Fortentwicklung waere:Pn = P1 + P2 +…+ Pn - P1*P2*…*Pn
Falsch mein Lieber:
Für drei Würfe ist’s
p1+p2+p3-p1*p2-p1*p3-p2*p3+p1*p2*p3
die Formel
p123 = p12 + p3 - p12*p3
ist bestimmt nicht das, woran man beim
Ansatz fuer zwei Wuerfe denkt. Zumal es
einfachere Loesungsansaetze gibt (s.u.)
Ersetze p12 durch p1+p2-p1*p2.
Die allgemeine Formel muss ich noch mal ableiten, hab’ sie grad nicht zur Hand.
Gruss Stucki
Hallo,
Pn = P1 + P2 +…+ Pn - P1*P2*…*Pn
Falsch mein Lieber:
Für drei Würfe ist’s
p1+p2+p3-p1*p2-p1*p3-p2*p3+p1*p2*p3
ich habe auch nicht behauptet, dass meine Version richtig ist, sondern nur, dass deine Version nicht das ist, an das man zuerst denkt, wenn man nur den Ausdruck fuer zwei Wuerfel vor Augen hat!!
Gruss, Niels