Wahrscheinlichkeit P(k)=k*p

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,
Ich habe folgende Aufgabe in einer Klausur gestellt bekommen:
„Frau Lose möchte solange Lose kaufen, bis sie einen Hauptgewinn (5% Trefferwahrscheinlichkeit) zieht. Bestimmen sie die Anzahl der Lose, die sie mindestens kaufen muss, damit sie mit mehr als 95%iger Wahrscheinlichkeit einen Hauptgewinn zieht, näherungsweise mit Hilfe der Binominalverteilung.“

Nun war mein Gedankengang ein einfacherer. Wenn Frau Lose ein Los kauft, gewinnt sie zu 5%. Kauft sie zwei, so hat sie zwei mal die Wahrscheinlichkeit von 5%, dass sie gewinnt, also 10%. Nun möchte sie mit 95%iger Wahrscheinlichkeit einen Hauptgewinn ziehen:
-> 95%/5% = 19
Dementsprechend müsste sie mindestens 19 Lose ziehen um eine Wahrscheinlichkeit von 95% zu erreichen, dass sie gewinnt. Da sie mehr als 95% haben möchte dementsprechend 20 mal.

Nun ist dieses Ergebnis falsch. Mithilfe der Binominalverteilung:
P(k)=\begin{pmatrix} n \ k \end{pmatrix}*0.05^k*0.95^{n-k}
Gegenereignis (0 Treffer):
P(0)=\begin{pmatrix} n \ 0 \end{pmatrix}*0.05^0*0.95^n
0.95^n
n > \log_{0.95}{0.05}=58.4

Jetzt weiß ich nicht, wieso meine Lösung falsch ist, die Binominalverteilung soweit ist mir einleuchtend, allerdings sehe ich meinen logischen Fehler in meiner Rechnung nicht?

Gruß
Julian

#2

Ähm. ich geb zu ich würde das eigentlich ganz anders rechnen.

Die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen liegt bei 5% pro Los. Ergo liegt die Wahrscheinlichkeit zu verlieren bei 95%. Im Grunde ist die Frage also, wieviele Lose muss ich ziehen, damit die Wahrscheinlichkeit zu verlieren Das ist nicht der Fall. Es gibt den guten alten Spruch „der Zufall hat kein Gedächtnis“.

Die chance bei 2 Losen einmal zu gewinnen ist also 2*0.95*0.05 = 0.095 oder 9.5%

#3

Die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen liegt bei 5% pro Los. Ergo
liegt die Wahrscheinlichkeit zu verlieren bei 95%. Im Grunde
ist die Frage also, wieviele Lose muss ich ziehen, damit die
Wahrscheinlichkeit zu verlieren Das ist nicht der Fall. Es gibt den guten
alten Spruch „der Zufall hat kein Gedächtnis“.

Die chance bei 2 Losen einmal zu gewinnen ist also 2*0.95*0.05
= 0.095 oder 9.5%

Aber wieso? Wenn ich ein Würfel habe, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich bei einem Wurf eine 1 werfe bei 1/6. Werfe ich zweimal ist sie danach 2/6 und nicht 2*1/6*5/6? Ich werfe jedes mal mit der Wahrscheinlichkeit 1/6, der Würfel hat kein Gedächtnis, deswegen immer 1/6. Bzw. in meiner Aufgabe immer 5% -> werfe ich 19 mal, so habe ich 19 mal die Wahrscheinlichkeit von 5%, dass ich den Hauptgewinn ziehe. Dementsprechend 95%.

#4

Du kannst prozentuale Wahrscheinlichkeiten nicht einfach so addieren.

Wenn du 20 mal ein Los ziehst hast du ja auch keine 100%.

#5

Hallo!

Die beste Erklärung, dass das so nicht sein kann ist die, die schon kurz angemerkt wurde:

Wenn du nach deiner Rechnung 6 Mal würfelst, würdest du mit sicherheit eine 6 würfeln. Das kann aber nicht sein, denn es gibt ja zumindest die Möglichkeit, zB 6 Mal eine 1 zu würfeln. Damit habe ich schon bewiesen, dass die Gegenwahrscheinlichkeit nicht null ist, wie du sie forderst.

Außerdem, was passiert, wenn du 12 Mal würfelst? Hast du dann mit 200 % mindestens einen 6er? Wohl kaum…
lg

#6

Hallo,
Das würde doch bedeuten, dass der Würfel ein Gedächtnis hat. Denn dann nimmt die Wahrscheinlichkeit, eine 1 zu würfeln, mit jedem zusätzlichen Wurf ab:
1 Wurf 16,7%
2 Würfe 27,8% (11,1% zusätzlich)
3 Würfe 34,7% (6,9% zusätzlich)
4 Würfe 38,6% (3,9% zusätzlich)
5 Würfe 40,2% (1,6% zusätzlich)

Das heißt, desto häufiger ich würfele, umso geringer wird die relative Wahrscheinlichkeit eine Eins zu würfeln?

Lg

#7

Nein. Die Wahrscheinlichkeit eine 1 zu würfeln bleibt immer gleich - nämlich 1/6.

Du machst bei deiner Rechnung ohnehin einen Denkfehler: Du berechnest die Wahrscheinlichkeit mit x Würfen genau eine 1 zu machen.

Korrekt ist:

1 Würfe - 16.7 % chance auf 1 * 1
2 Würfe - 3 % chance auf 2 *1 und 27.8 % auf 1 * 1
3 Würfe - 0.5% chance auf 3 * 1, 7% chance auf 2 * 1 und 34.7 % auf 1 * 1

#8

da wirds erklärt
http://www.youtube.com/watch?v=gmTR4FRfF4g

#9

Stimmt, aber dennoch bleibt mein Einwand:
1 Wurf - 16,7%
2 Würfe - 30,6%
3 Würfe - 42,3%
Differenz 0 - 1: 16,7%
Differenz 1 - 2: 13,9%
Differenz 2 - 3: 11,7%

Hier sinkt doch eindeutig die relative Wahrscheinlichkeit. Ganz einfach gesagt: Wenn ich einmal würfel habe ich 1/6, würfel ich zweimal, so muss doch die Wahrscheinlichkeit doppelt so hoch sein. Denn, ich habe zwei mal die Wahrscheinlichkeit von 1/6, dass ich eine 1 würfel. Wo ist da dann der Sinn, dass ich anstatt 33,3% nur 30,6% habe?

Ich suche keine Gegenbeispiele, sondern eine logische Erklärung, wieso das nicht richtig ist.

#10

Ich glaube jetzt ist hier ein echter Mathematiker gefragt, der das in Formeln gießen kann. Unterm Strich ist dein Denkfehler, dass Wahrscheinlichkeiten, zwar in rationalen Zahlen ausgedrückt werden, aber keine rationalen Zahlen sind. Eine Wahrscheinlichkeit von 5% bedeutet ja nichts weiter als für n --> unendlich ein Ereignis in 5% der Fälle eintritt.

Deine Frage ist deswegen (für mich) so schwer zu beantworten, weil du schlicht eine Rechnung ausführst die so nicht geht. Es ist, als hättest du geschrieben:

3 * 3 = 250

und wir begründen sollen, warum das Ergebnis nicht stimmt. Man kann eben ausrechnen, dass 3 * 3 = 9 ist, aber viel weiter kann ich da nicht argumentieren. Man kann mit Wahrscheinlichkeiten so, wie du es getan hast schlicht nicht rechnen.

Auch dein Ansatz mit den ‚relativen‘ Wahrscheinlichkeiten ist merkwürdig. Klar sollte sein, dess die Wahrscheinlichkeit eine 1 zu würfeln niemals 100% werden kann, sich die Wahrscheinlichkeit für n --> unendlich an die 100% annähert.

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#11

Okay, vermutlich denk ich mir das wirklich einfach falsch… Würdest du mir den zustimmen, dass die Wahrscheinlichkeit, min einen einer zu würfeln bei 2 Würfen doppelt so hoch ist, als bei einem Wurf? Jetzt rein ohne Formeln, nur vom Verständnis her?

#12

Hallo;

Würdest du mir den zustimmen, dass die Wahrscheinlichkeit, min einen :einer zu würfeln bei 2 Würfen doppelt so hoch ist, als bei einem Wurf

Das ist nicht der Fall, sie ist nicht ganz so hoch.
Die Wahrscheinlichkeit für „Eine Eins im ersten Wurf und es ist egal was im zweiten auftritt“ ist 1/6.
Zusätzlich interessiert uns dann auch noch das Ereignis „keine Eins im ersten Wurf, dafür aber im zweiten“ (damit sind die beiden Ereignisse disjunkt, die Gesamtwahrscheinlichkeit ergibt sich durch Summation der Einzelwahrscheinlichkeiten), die Wahrscheinlichkeit hierfür ist aber nicht 1/6, sondern nur 5/6 (keine Eins im ersten)* 1/6 (Eins im zweiten).
Damit ist die Gesamtwahrscheinlichkeit 1/6+5/6*1/6=11/36, also nicht ganz die 12/36=1/3.

Vom Verständnis her: Natürlich wird die Wahrscheinlichkeit größer, wenn wir zwei Würfe betrachten - sie ist allerdings nicht doppelt so groß, weil das Ereignis „Eins in beiden Würfen“ (das ist genau die 1/36, die oben noch „fehlen“) nur ein Mal gezählt werden darf.

Allerdings wäre, je nach deiner Auffassung, das Ereignis „genau eine Eins in zwei würfen“ doppelt so wahrscheinlich wie „Eins im ersten, keine im zweiten“, nämlich 1/6*5/6 + 5/6*1/6 = 10/36 = 5/18.

mfG

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#13

Hey,
Ich glaube, du hast es geschafft :smiley: Mein Denkfehler liegt einfach darin, dass nach dem ersten Wurf bereits zu 1/6 eine eins gewürfelt worden sein kann. Dann interessiert es nicht mehr, welche Zahl der zweite Würfel wirft. Das heißt, für den zweiten Wurf interessieren nur die 5/6 des ersten Wurfes. Dementsprechend sind es dann nur 5/36 mehr und nicht die vollen 6/36 (1/6).

Danke :wink:

Gruß
Julian

#14

Hallo Julian,

gemäß Aufgabenstellung soll ja die Binomialverteilung (ohne n!) als Näherung verwendet werden. Am Einfachsten nimmst Du dazu das Larson-Nomogramm her, da brauchste nicht lange rum rechnen - mal so als Tipp :wink:

Gruß, Steff

#15

Hey Steff,
Danke für den Tipp mit dem Larson-Nomogramm. War mir bis jetzt noch nicht bekannt, vereinfacht das ganze aber um einiges :wink:

Gruß
Julian