Hallo,
ich versuche mal die Antwort etwas ausführlicher und daher vielleicht etwas nachvollziehbarer zu machen.
Nochmal die Aufgabenstellung:
Eine Reisegruppe fährt mit 11 Jungen und 18 Mädchen in einen
einwöchigen Urlaub. Erfahrungsgemäß beträgt das Risiko, dass
sich während des Aufenthaltes einer der Jungen verirrt 5% und
dass sich ein Mädchen verirrt 2%.
Eigentlich streng gesehen ist die Aufgabenstellung nicht 100%ig eindeutig. Nimmt man es wörtlich so ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich während der Fahrt genau ein Junge verirrt 5%. Gemeint ist aber sicher: Die Wahrscheinlichkeit das ein Junge sich verirrt ist für jeden Jungen unabhängig 5%!
Um es klar zu machen stelle man sich 3 Münzen vor. Jede kann Kopf oder Zahl haben. Die Wahrscheinlichkeit das einmal Kopf kommt ist 50% für jede Münze.!!!
Das aber einmal Kopf kommt beim Wurf von 3 Münzen ist 3/8 als ca. 37.5%.
Es gibt insgesamt 2^3=8 Möglichkeiten:
KKK
KKZ
KZK
KZZ
ZKK
ZKZ
ZZK
ZZZ
Und nur 3 mal ist genau einmal K: KZZ,ZKZ,ZZK
Wenn wir nun davon ausgehen, dass die Wahrscheinlichkeit sich zu verirren für jeden Jungen 5% und für jedes Mädchen 2% ist, und diese Wahrscheinlichkeit unabhängig vom Verirren der anderen Kinder ist, dann folgt die Anzahl der Verschwundenen Kinder der BINOMINALVERERTEILUNG.
Die Formel für die Jungen lautet:
\left(\stackrel{11}{k}\right)\cdot 0.05^k\cdot 0.95^{11-k}
Wobei k die Anzahl der Jungen ist, die sich verirren. Willst du, wie in A, wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass sich kein Junge verirrt, dann setzt du k=0 also:
\left(\stackrel{11}{0}\right)\cdot 0.05^0\cdot 0.95^{11}=\frac{11!}{(11-0)!\cdot 0!}\cdot 1\cdot 0.95^{11}=0.5688
Für die Mädels gilt:
\left(\stackrel{18}{0}\right)\cdot 0.02^0\cdot 0.98^{11}=\frac{18!}{(18-0)!\cdot 0!}\cdot 1\cdot 0.98^{18}=0.6951
Da beides unabhängig ist, kannst du die Wahrscheinlichkeiten einfach multiplizieren und erhälst:
Die Wahrscheinlichkeit, dass sich weder ein Junge noch ein Mädchen verlaufen ist
39,54%.
Zu Aufgabe B:
Hier müssen wir drei Fälle überlegen. 1. Fall: Kein Mädchen verirrt sich, aber 1 Junge. 2. Fall: 1 Mädchen verirrt sich, aber kein Junge. 3. Fall: Weder ein Junge noch ein Mädchen verirren sich.
Bei Unabhängigkeit gilt:
P(M=0|J=1)=P(M=0)*P(J=1)
P(M=1|J=0)=P(M=1)*P(J=0)
P(M=0|J=0)=P(M=0)*P(J=0)
P(M+J
0.8264
Antwort auf B ist also: Mit einer Wahrscheinlichkeit von rund 82.64% verirrt sich höchstens 1 Kind!
