Wahrscheinlichkeitsrechnung sechseitige Würfel Chancen der Ergebnisse ?

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo liebe Community,

leider ist mein Stochastik und Statistikunterricht schon viele Jahre her und ich habe folgendes Problem, dass ich mathematisch nicht in der Lage bin zu lösen. Ausser ganz händischer Kombinatorik fällt mir keine Lösung ein, leider wird das Problem schnell zu groß, weil die Ereignisse sehr viele sind.

Ausgangslage:

Ich möchte wissen, wie hoch die Chance ist, mit zwei sechseitigen Würfeln eine Gesamtaugenzahl 7 (oder 8, 9, 10, 11 oder 12) zu erreichen.

In der nächsten Runde wüsste ich gerne, wie hoch die Chance ist eine Gesamtaugenzahl 7 (oder 8, 9, 10, 11 oder 12) mit zwei sechseitigen Würfeln zu erreichen, wenn ich drei sechseitige Würfel werfe und mir von diesen 3 Würfeln immer zwei aussuchen darf.

Insgesamt brauche ich die Ergebnisse von bis zu 10 sechseitigen Würfeln, die geworfen werden, dann zwei Würfel raussuchen und den Prozentsatz mit der man 7, 8, 9, 10, 11 und 12 erreicht.

Die Antwort müsste in die Richtung gehen. Wenn ich 5 sechseitige Würfel werfe, und mir gezielt zwei Würfel raussuchen darf, ist die Chance das ich mit diesen zwei Würfeln eine Gesamtaugenzahl von 7 erreiche X Prozent.

Ich brauche die Wahrscheinlichkeiten von 2-10 Würfeln bei den Gesamtaugen zahlen 7, 8, 9, 10, 11 und 12.

Eine verständliche Formel würde eventuell auch helfen.

Vielen Dank für Antworten,

Reggie

#2

Auch hallo

Wieviele Würfel im Hintergrund als Reserve übrig sind, dürfte irrelevant sein, da immer „nur“ zwei davon verwendet werden.
Für die Gesamtsummen „2“ und „12“ gibt es nur 1+1 und 6+6 für beide Würfel (6*6 mögliche Augenwürfe, je eins ergibt das gewünschte Ergebnis. Macht 1/36). Für z.B. „7“ 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, …
Für Näheres siehe http://www.rither.de/a/mathematik/stochastik/wahrscheinlichkeitsverteilungen/erwartungswert/ (spez. das Histogramm und die Tabelle darüber)

mfg M.L.

#3

Vielen Dank für die schnelle Antwort. Leider ist mein Problem vielmehr, dass sich die Wahrscheinlichkeit durch weitere Würfel ja verändert.
Wenn ich zwei sechseitige Würfel werfe ist die Wahrscheinlichkeit für eine 12 1/36, klar. Aber wenn ich jetzt drei Würfel werfe und mir zwei aussuchen darf, ist die Wahrscheinlichkeit für eine zwölf höher.
Ich hoffe, meine Frage ist jetzt eindeutiger.
Eine 12 zu erreichen, wenn man drei Würfel wirft und zwei Würfel davon werten darf ist zum Beispiel 16/216, als fast dreimal höher als bei zwei Würfeln.

#4

Ich glaube da gibts keine einfache Formel. Du brauchst immer die Anzahl der Gesamtkombinationen:

6^w (W=Anzahl der Würfel)

Und du brauchst die Anzahl „richtigen“ Kombinationen. Für dein Beispiel mit der 12 sind das bei W = 2: 1, bei W = 3: 16 und bei W=4: 171. Ich glaube nicht, dass es da ne Formel für gibt.

#5

Naja, nicht ganz. Die Reservewürfel bedingen die Wahrscheinlichkeit der gewählten Würfel, z.B. bei Gesamtaugenzahl dreier Würfel von 4, kann ich mir natürlich die beiden Würfel mit der 1 aussuchen, wenn ich nach der Wahrscheinlichkeit für Gesamtaugenzahl 2 bei zwei Würfeln frage.

Ich kann’s jetzt auch nicht überblicken und schnell herleiten, aber für mich sieht das nach Stirling-Zahlen aus, die Anzahl der K-elementigen Teilmengen mit Summe X einer N-elementigen Menge mit Summe Y.

Müßte man mal am Rechner simulieren.

#6

Für 2 Würfel ist das Problem trivial:

Wahrscheinlichkeit für 12:
1/36
Wahrscheinlichkeit für 11:
2/36
Wahrscheinlichkeit für 10:
3/36
Wahrscheinlichkeit für 9:
4/36
Wahrscheinlichkeit für 8:
5/36
Wahrscheinlichkeit für 7:
6/36

Ich habe Dein Problem außerdem gelöst für 2 auf die Zielsumme hin gewählte Würfel aus 3 geworfenen Würfeln (d.h., für jeden der 216 Wurfkombinationen gibt es 3 mögliche Kombinationsmöglichkeiten von 2 Würfeln die ich jeweils gecheckt habe):

Wahrscheinlichkeit für 12:
16/216
Wahrscheinlichkeit für 11:
30/216
Wahrscheinlichkeit für 10:
46/216
Wahrscheinlichkeit für 9:
60/216
Wahrscheinlichkeit für 8:
76/216
Wahrscheinlichkeit für 7:
90/216

Falls Du noch Interesse hast, kann ich es auch noch für höhere Würfelanzahlen lösen, aber bis 10 werde ich nicht gehen, das dauert mir zu lange.

#7

Hier noch das Ganze für 2 aus 4 Würfeln:
Wahrscheinlichkeit für 12:
171/1296
Wahrscheinlichkeit für 11:
302/1296
Wahrscheinlichkeit für 10:
461/1296
Wahrscheinlichkeit für 9:
580/1296
Wahrscheinlichkeit für 8:
727/1296
Wahrscheinlichkeit für 7:
834/1296

Um Fragen zuvorzukommen: Diese Wahrscheinlichkeiten addieren sich nicht zu 1, da es immer mehr Überlappungen gibt. So trägt z.B. hier die einzelne gewürfelte Augenkombination „3 4 5 6“ sowohl zum Ergebnis für 7,8,9,10 wie auch für 11 bei.

Auch zu beachten ist, dass die Fragestellung („mindestens Augenzahl x“) noch höhere Wahrscheinlichkeiten produziert. Gelöst habe ich in allen meinen Antworten für „genau x“.

#8

Hallo Wizzy,

vielen Dank für die große Hilfe und sorry für eine späte Antwort, da ich im Moment im Urlaub ein wenig vom Internet abgeschnitten bin.
Du hast meine Frage genau richtig verstanden und Deine Antworten sind richtig, sofern ich sie nachrechnen konnte.
Leider brauche ich für die Entwicklung eines Spiels die Warscheinlichkeiten für bis zu zehn Würfeln für die Ergebnisse von 7 bis 12.
Kurz vor meinem Urlaub war ich mit Hilfe eines Arbeitskollegen an der Reihe 2-10 Würfel und das Ziel Augenzahl 12 mit jeweils zwei Würfeln dran und da decken sich meine Wahrscheinlichkeiten mit Deinen Ergebnissen.
Jede weitere Reihe würde mir also helfen, auch um querrechnen zu können.

Vielen Dank für die Hilfe,

Reggie

#9

Regman, das hier ist mein Code für 4 Würfel (Matlab, lässt sich aber sehr leicht umschreiben). Er ist keinesfalls elegant, aber zweckmäßig. Mit diesem als Grundlage ist es eine Fleißübung, Ergebnisse für mehr Würfel zu bekommen. (Hinweis: Allein w zu ändern reicht nicht. :slight_smile: )

w=4;

throws=zeros([w 6]);
results=zeros([1 6^w]);

d1=0;
d2=1;
d3=1;
d4=1;
cou7=0;
cou8=0;
cou9=0;
cou10=0;
cou11=0;
cou12=0;

for i=1:6^w

d1=d1+1;
if d1>6
d1=1;
end
if i>1
if mod(i-1,6)==0
d2=d2+1;
end
if d2>6
d2=1;
end
if mod(i-1,36)==0
d3=d3+1;
end
if d3>6
d3=1;
end
if mod(i-1,216)==0
d4=d4+1;
end
if d4>6
d4=1;
end
end

if d1+d2==7 || d1+d3==7 || d2+d3==7 || d1+d4==7 || d2+d4==7 || d3+d4==7
cou7=cou7+1;
end
if d1+d2==8 || d1+d3==8 || d2+d3==8 || d1+d4==8 || d2+d4==8 || d3+d4==8
cou8=cou8+1;
end
if d1+d2==9 || d1+d3==9 || d2+d3==9 || d1+d4==9 || d2+d4==9 || d3+d4==9
cou9=cou9+1;
end
if d1+d2==10 || d1+d3==10 || d2+d3==10 || d1+d4==10 || d2+d4==10 || d3+d4==10
cou10=cou10+1;
end
if d1+d2==11 || d1+d3==11 || d2+d3==11 || d1+d4==11 || d2+d4==11 || d3+d4==11
cou11=cou11+1;
end
if d1+d2==12 || d1+d3==12 || d2+d3==12 || d1+d4==12 || d2+d4==12 || d3+d4==12
cou12=cou12+1;
end

end