Ich habe bald eine Matheprüfung über Integralrechnung aber ich versteh nicht wann man partiell und wann man mit substitution integrieren muss. gibt es da eine Regel?
Danke, Gruß Noah!
Man muss keins der Verfahren verwenden…
IdR will man aber einfacher handhabbare Ausdrücke erzielen: https://de.wikipedia.org/wiki/Integration_durch_Substitution & https://de.wikipedia.org/wiki/Partielle_Integration (wobei es aber -spez. bei der part. Int.- passieren kann, dass man den falschen Ausdruck bearbeitet und die Sache komplizierter macht als nötig)
mfg M.L.
Ok Danke dir,
Gruß Noah!
Lieber Noah,
für das Lösen von Integralen gibt es keine allgemeingültigen Regeln. Deswegen ist das symbolische Integrieren heute immer noch für Computer sehr schwierig. Aber es gib ein paar Gedanken, die oft weiterhelfen:
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Der Integrand besteht aus einem Produkt, Ein Faktor ist ein Polynom, der andere eine der folgenden Funktionen: sin, cos, exp, sinh, cosh. Dann ist oft partielle Integration sinnvoll. Integriere soherum, dass du das Polynom ableitest und die andere Funktion integrierst. Das funktioniert, weil die Funktion beim Integrieren nicht wesentlich komplizierter wird, während das Polynom mit jedem Ableiten einfacher wird, bis es irgendwann ganz verschwindet.
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Der Integrand besteht aus einem Produkt. Ein Faktor ist eine zyklometrische Funktion (arcsin, arccos odgl) oder eine inverse hyperbolische Funktion (Arsinh odgl.) oder ein ln. Diese Funktionen werden beim Ableiten zu einer rationalen Funktion. Ist der andere Faktor ein Polynom, ist es oft sinnvoll, partiell zu integrieren und die komplizierte Funktion durch Ableiten in eine einfachere Funktion umzuwandeln.
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Enthält der Integrand den Ausdruck 1-x^2, so ist oft die Substitution x=sin(t) sinnvoll, da sich dann 1-x^2=1-sin^2(t)=cos^2(t) ergibt. Das ist besonders dann interessant, wenn der Ausdruck 1-x^2 unter einer Wurzel steht, sodass sich \sqrt{1-x^2}=cos(t) ergibt.
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Enthält der Integrand statt dessen den Ausdruck 1+x^2, so ist mit gleicher Überlegung wie in 3) oft die Substitution x=sinh(t) sinnvoll, da 1+x^2=1+sinh^2(t)=cosh^2(t).
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Ist der Integrand ein Bruch und der Zähler die Ableitung des Nenners, so kann man den Nenner substituieren und erhält als Stammfunktion ln(Nenner). Man nennt das auch logarithmisches Integrieren.
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Bei gebrochenrationalen Ausdrücken hilft die Technik der Partialbruchzerlegung oft weiter, um den Ausdruck in eine Form zu bringen, die man anschließend besser integrieren kann.
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Soll man ln integrieren, so kann man ln(x)=1*ln(x) schreiben und partiell integrieren. Dabei wird der ln abgeleitet und die 1 integriert.
Liebe Grüße!