Warum Vektorraum nicht zu Dualraum kanonisch isomorph?

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo Experten,

bekanntlich ist ja ein Vektorraum V (und ich schränke mich hier mal auf endlich viele Dimensionen ein) zu V** KANONISCH isomorph. Dabei soll V** der Dualraum des Dualraums von V sein. Das „kanonisch“ sagt man dazu, weil man einen gewissermaßen ausgezeichneten Isomorphismus angeben kann, insbesondere also keine Basis oder ein spezielles Skalarprodukt wählen muss.

Nun sagt man aber weiter, dass V und V* nicht kanonisch isomorph seien, weil man eben keinen ausgezeichneten Isomoprhismus unter all den Möglichen findet. Aber wie genau beweise ich das? Nur weil ich keinen finde, heisst das ja nicht, dass es nicht irgendeinen gibt? Und wie genau formalisiere ich dieses „besonders ausgezeichnet“? Ich denke, dass das etwas exakter formulierbar sein muss, da in der Mathematik viel Wert darauf gelegt wird, dass so ein kanonischer Isomorphismus existiert. Wieso darf man nur solche Räume wirklich miteinander identifizieren und nicht etwa den V und V*. Mir ist die Tragweite dieses Konzepts offenbar nicht ganz klar.

Beste Grüsse, IGnow

#2

Hi,

das stimmt ja nicht so ganz. Zu einem (reellen) Spaltenvektorraum erhältst Du durch das Transponieren den dualen Zeilenvektorraum mit einer Abbildung, die so kanonisch ist wie die kanonische Basis.

In einem Hilbertraum wird durch das Skalarprodukt, in Erweiterung des o.g. Transponierens, eine kanonische Bijektion zum Dualraum hergestellt.

Nur, in einem allgemeinen Vektorraum hast Du weder die Spaltenstruktur noch ein Skalarprodukt automatisch und eindeutig oder überhaupt vorliegen. Das Hinzufügen einer solchen Struktur hat in beiden Fällen ein Element der Beliebigkeit, weswegen man dann nicht mehr von kanonisch spricht.

Und in den ersten zwei Beispielen wird man auch nicht oft von „kanonisch“ verwenden, weil keine Notwendigkeit besteht, diese Operationen von anderen abzugrenzen.

Gruß, Lutz

#3

Hallo,

im Falle, dass V endlich dimensional ist, so sind V und V* isomorph. Du hast ja stets die Duale Basis und kannst daher einen kanonischen Isomorphismus angeben.

Die (kanonische) Einbettung in den Doppeldualraum wird erst spannend, wenn Du die Situation verallgemeinerst. Wenn Du z.B. zu Moduln übergehst, dann müssen weder M und M* noch M und M** isomorph sein.

(Moduln sind Vektorräumen von der Definition sehr ähnlich, aber der „Grundkörper“ muss kein Körper sein, sondern nur ein Ring.)

Bei Moduln kannst Du manchmal gar keine Basen wählen. Es gibt dennoch die kanonische Abbildung von M nach M**. Wann diese Injektiv oder ein Isomorphismus etc. ist, führt zu wichtigen Klassifikationssätzen.

Bei Vektorräumen ist diese Abbildung nicht soo spektakulär und wird wahrscheinlich in der Vorlesung hauptsächlich deshalb erwähnt, um Dich auf allgemeinere Konzepte vorzubereiten.

Das Wort „kanonisch“ heißt dabei nur, dass Du weißt, welchen der vielen Isomorphismen Du betrachtest. Nämlich den, den alle immer als erstes anschauen. Den „kanonischen“ halt.

Beste Grüße
Zwergenbrot

#4

Danke :smile: (owT)
…

#5

Hi Lutz,

das stimmt ja nicht so ganz. Zu einem (reellen)
Spaltenvektorraum erhältst Du durch das Transponieren den
dualen Zeilenvektorraum mit einer Abbildung, die so kanonisch
ist wie die kanonische Basis.

Was genau versteh ich formal unter einem reellen Spalten-/Zeilenvektorraum?

Beste Grüsse,
IGnow

#6

Den Raum der n x 1 Spalten-Matrizen bzw. der 1 x n Zeilenmatrizen. Anwendung von Linearform auf Vektor ist dann einfach die Matrixmultiplikation.

Gruß, Lutz