hallo,
kann mir jemand sagen, welche bedeutung dieses zeichen in einigen gleichungen hat? ich meine die spiegelverkehrte 6.
http://upload.wikimedia.org/math/5/5/4/5544afacc9d60…
mfg
Auch hallo,
partielle Ableitung nach der entsprechenden Variablen.
Man betrachtet alle anderen Variablen als konstant.
Gruß Volker
Hallo,
welche bedeutung dieses zeichen in einigen gleichungen hat?
ich meine die spiegelverkehrte 6.
das „∂“-Zeichen steht für die partielle Differentiation. „∂ f / ∂ x“ wird gesprochen als „f partiell abgeleitet nach x“.
Siehe dazu http://de.wikipedia.org/wiki/Partielle_Differentiation
Gruß
Martin
hallo,
was ist dann der unterschied zu einer normalen ableitung? da wird doch auch nur nach einer variablen differenziert.
mfg
Auch hallo.
was ist dann der unterschied zu einer normalen ableitung? da
wird doch auch nur nach einer variablen differenziert.
„Partiell diiferenziert“ ist der allgemeinere Ausdruck. Wenn die Gleichung nur eine Variable zum Differenzieren hat, ist „partiell differenzieren“ und „differenzieren“ ein und dasselbe.
mfg M.L.
hallo,
was ist dann der unterschied zu einer normalen ableitung? da
wird doch auch nur nach einer variablen differenziert.
Die kürzeste und beste Antwort darauf lautet:
d / dt = ∂ / ∂t + v · ∇
Mit v = Geschwindigkeit; ∇ = Nabla-Operator, „·“ = Skalarprodukt
Alles klar? (lach) Zur Erklärung verweise ich Dich mal an die Wikipedia: http://de.wikipedia.org/wiki/Substantielle_Ableitung
Gruß
Martin
Wenn die Gleichung nur eine Variable zum Differenzieren hat, ist
„partiell differenzieren“ und „differenzieren“ ein und dasselbe.
Gut. Dann möchte ich aber auch wissen, was ist, wenn die Gleichung mehr als eine Variable hat.
Gruß
Martin
Nochmal Hallo,
Stell Dir mal ein dreidimensionales Koordinatensystem vor, also x,y,z.
Z.B. eine Ecke eines Pappkartons, stecke da eine Draht rein, der ein wenig verbogen wird. Du bekommst dann drei Projektionen auf die verschiedenen Ebenen, für die jeweils die partielle Ableitung gilt.
Die Summe der Ableitungen ergibt die tatsächliche Veränderung der Funktion.
Gruß Volker
die spiegelverkehrte sechs ist der kleine griechische Buchstabe delta
und entspricht dem lateinischen(bzw. deutschen) d
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Gut. Dann möchte ich aber auch wissen, was ist, wenn die
Gleichung mehr als eine Variable hat.
Nichts besonderes. Eine Gleichung mit mehr als einer variablen beschreibt einfach nur ein System, in dem eine (Ziel-)Größe von mehr als einer anderen Größe abhängt. Mit Hilfe der partiellen ableitungen kannst du feststellen, welchen Einfluss die Änderung jeder einzelnen dieser Größen auf die Zielgröße hat.
Ein ganz einfaches Beispiel:
Der Luftwiderstand (als Kraft F) ist gegeben durch die Gleichung
F = cw * rho * v² * A
mit cw = Luftwiderstandsbeiwert, rho = Dichte der Luft, v = Geschwindigkeit und A = Windangriffsfläche.
Jetzt weiß jedes Kind, dass der Widerstand mit dem Quadrat der Geschwindigkeit steigt. Die Änderung der Kraft ist also proportional zur Geschwindigkeit. Der Proportionalitätsfaktor 2 * (cw*rho*A) ergibt sich auch aus der pariellen Ableitung:
∂F/∂v = 2 * (cw*rho*A) * v
In Worten: Je größer cw, rho, A UND v, desto größer ist die Änderung von F, wenn sich v ändert.
So, wie hängt die Änderung der Kraft ab von zB. dem cw-Wert? Bilden wir die entsprechende partielle Ableitung:
∂F/∂cw = rho * v² * A
Naja, das ist noch einfacher als oben. Eigentlich ist das alles so einfach, dass man hier gar nicht wirklich die partiellen Ableitungen braucht. Man sieht ja an der Ausgangsgleichung direkt, dass bei gleicher Luftdichte, Geschwindigkeit und Fläche bei einem doppelten cw-Wert auch eine doppeltsogroße Kraft wirkt.
Nun könnte man noch den Rollwiderstand dazunehmen und bekommt
F = cw*rho*v²*A + d/R*FN
mit d = Verschiebung (durch Verformung), R = Radius des Rades, FN = Normalkraft (bzw. Gewichtskraft). Sagen wir, das ganze gilt für ein Auto und Du als Ingenieur hast du nun ein Budget und sollst damit den Verbrauch des Autos senken. Wo greift man am effektivsten an? Hier gehen dann noch Betrachtungen über die jeweiligen Entwicklungskosten/Produktionskosten (in die Gleichung) mit ein, aber ich hoffe Du erkennst im Prinzip, dass hier die Partiellen Ableitungen weiterhelfen.
LG
Jochen
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die spiegelverkehrte sechs ist der kleine griechische
Buchstabe delta
und entspricht dem lateinischen(bzw. deutschen) d
sieht zwar ähnlich aus, ist es aber nicht.
Michael
Hallo
kann mir jemand sagen, welche bedeutung dieses zeichen in
einigen gleichungen hat? ich meine die spiegelverkehrte 6.
Stell Dir mal eine Landschaft vor. Die geografische Position wird durch zwei Koordinaten angegeben, sagen wir x und y. Die geografische Höhe durch h. Offensichtlich ist h eine Funktion von x und y. Es gilt also:
h = h(x,y)
Sagen wir die x-Achse zeigt nach Osten, die y-Achse nach Norden, dann gibt die partielle Ableitung…
∂h/∂x
an, wie steil das Terrain nach Osten hin ansteigt. Beispiel: Wir befinden uns auf einer schiefen Ebene, die nach osten hin im 45°-Winkel ansteigt:
h = x + 5
Dann ergeben die partiellen Ableitungen:
∂h/∂x = 1
∂h/∂y = 0
Wenn man genau Richtung Nord läuft, bemerkt man keinen Anstieg. Was passiert aber, wenn man nach Nordosten geht? Nennen wir diese Richtung einmal s. Der Einheitsvektor von s lautet:
e s = 1/√2 e x + 1/√2 e y
Möchte man also wissen, wie stark das Gelände in Richtung eines Weges ansteigt, der nach NO führt, kann man das so berechnen:
dh/ds = 1/√2 ∂h/∂x + 1/√2 ∂h/∂y
Rechts stehen die partiellen Ableitungen, weil jeweils genau gefragt wird: Wie steil ist der Anstieg in x-Richtung? Wie steil ist der Anstieg in z-Richtung?.
Links steht die gewöhnliche Ableitung, weil jeder Schritt in s-Richtung natürlich auch ein Stückchen in x-Richtung und ein Stückchen in y-Richtung führt.
Noch deutlicher wird es, wenn man sich vorstellt, dass ein Wanderer den Weg in s-Richtung wählt, und dort die Geschwindigkeit v hat. Dann berechnet sich der zurückgelegte Weg nach s = vt.
Möchte man nun angeben, wie schnell der Wanderer ansteigt (also wieviele Höhenmeter er in der Stunde schafft), so verwendet man die gewöhnliche Ableitung:
dh/dt = v * (1/√2 ∂h/∂x + 1/√2 ∂h/∂y)
Die partielle Ableitung
∂h/∂t = 0
ist natürlich 0, weil in der Funktion h keine explizite Abhängigkeit von der Zeit steht (Es heißt h = h(x,y) und nicht h = h(x,y,t)). „Explizit“ bedeutet, dass eine Größe (hier: h) direkt von einem Parameter abhängt. Die Höhe ändert sich selbstverständlich nicht, wenn man an einem Ort stehen bleibt. (Für einen Seismologen, der Erdbeben untersucht, kann die geografische Höhe jedoch durchaus explizit von der Zeit abhängen!)
Diese Geschichte ist ein äußerst mächtiges Werkzeug. Der Wanderer könnte sich ja z. B. auch fragen: In welche Richtung müsste ich gehen, um am schnellsten nach oben zu kommen und wie steil ist dieser Anstieg?
Die Antwort liefert der „Gradient“:
grad h = ∂h/∂x * e x + ∂h/∂x * e y = 1 * e x + 0
Also: Der Anstieg ist Richtung Osten am steilsten. Die Steigung beträgt 100%.
Kurz zusammengefasst: Man verwendet die gewöhnliche Ableitung, wenn man wissen will wie sich eine Funktion mit einer Größe und allen davon betroffenen Begleitumständen ändert. Man verwendet die partielle Ableitung, wenn man wissen will, wie diese Funktion von einer Größe allein abhängt (also vorausgesetzt, dass sich alle anderen Parameter nicht ändern).
Michael
Sternchen wert
Hallo Jochen,
super erklärt!!!
Gruß, der Bauigel
Hallo Jochen,
mein Dankeschön an Dich. Das fand ich soweit verständlich.
Eine Gleichung mit mehr als einer variablen
beschreibt einfach nur ein System, in dem eine (Ziel-)Größe
von mehr als einer anderen Größe abhängt. Mit Hilfe der
partiellen ableitungen kannst du feststellen, welchen Einfluss
die Änderung jeder einzelnen dieser Größen auf die Zielgröße hat.
Hm… ja, gut. Aber könnte man diese partiellen Ableitungen dann nicht auch einfach mit dem normalen „d“ ausdrücken, also „d irgendwas / dx“ schreiben statt „∂ irgendwas / ∂x“? Wozu ein „neues“ Symbol, wenn alles genausogut auch mit dem altbewährten ginge? Denn wenn ich ehrlich bin, sehe ich in keinem Deiner Beispiele eine echte Notwendigkeit für ein „∂“. Die würde ich erst anerkennen, wenn in irgendeiner Situation mal ein „d irgendwas / dx“ etwas anderes ergäbe als „∂ irgendwas / ∂x“, also z. B. d… / dx = 5.9, aber ∂… / ∂x = 128.4 bei identischen „…“-Lückenfüllern. Kann dieser Fall eintreten, und wenn ja: was wäre der Clou, die Essenz, der Knackpunkt dabei?
Eigentlich ist das alles so einfach, dass man hier gar nicht
wirklich die partiellen Ableitungen braucht.
Ja, eben! (lach) Aber unter welchen Umständen braucht man sie denn dann wirklich?
Mit freundlichem Gruß
Martin
Hallo,
Wozu ein „neues“ Symbol, wenn alles genausogut
auch mit dem altbewährten ginge?
Um klar zu machen, dass der gegebene Differentialquotient nur für ganz bestimmte Werte anderer Variablen der Differentialgleichung gilt. Es hat keinen mathematischen Grund - nur einen semantischen.
Ein df/dx beschreibt die einzige, endgültige Ableitung von f nach x, während man bei ∂f/∂x aufpassen muß; hier gibt es andere Parameter in f, welche die Größe und den Verlauf von ∂f/∂x bestimmen.
Anders formuliert: während dx/df sich verstehen läßt als Gradient einer Funktion, ist ∂f/∂x zu verstehen als vektorielle Komponente eines Gradienten. Um den (semantischen) Unterschied klarzumachen, verwendet man verschiedene Symbole.
Ja, eben! (lach) Aber unter welchen Umständen braucht man sie
denn dann wirklich?
Die Symbole oder die partiellen Ableitungen? Die Symbloe braucht man wie gesagt nicht wirklich. Mathematisch ist es unerheblich, ob du nun d oder ∂ schreibst. Für den, der an deinen Gleichungen nachvollziehen will, was du gemacht hast und was die Gleichungen bedeuten, mag es hingegen schon wichtig sein, partielle Ableitungen von totalen Ableitungen anhand der verwendeten Symbolik unterscheiden zu können.
Partielle Ableitungen selbst werden recht häufig gebraucht, zB. zur Vektoranalysis oder auch zur Fehlerrechnug (wenn Fehler von mehreren Einfluß- und Störgrößen gleichzeitig abhängen). Oder zur Lösung von Extremwert-Problemen, die gleichzeitig von mehreren Parametern abhängen. Oder zur Berechnung totaler Differentiale, die in der Thermodynamik häufig Anwendung finden.
LG
Jochen
Hallo Jochen,
na gut, ich gebe mich endgültig abgeleitet zufrieden 
Nochmals merci für Deine Mühe.
Gruß
Martin