Hallo weedn,
wenn ich Dich recht verstehe, kommen unter jeder Wabe zwei weitere. Die Biene hat also jeweils zwei Möglichkeiten, ihren Weg fortzusetzen, nämlich nach unten links und nach unten rechts. Das ergibt pro Etage eine Verdoppelung der Möglichkeiten. Also bei zwei Etagen auch zwei Wege, bei drei Etagen schon 2*2=4 Wege und bei vier Etagen dann 2*2*2=8 Wege. Allgemein ergibt sich dabei die Anzahl der Wege durch eine k-etagige Pyramide zu N(k)=2^(k-1).
Wenn Du wissen möchtest, wie viele Wege in einer bestimmten Zielwabe enden, dann zeichne Dir einen konkreten Weg ein. Zähle nach, wie oft die Biene nach rechts und links abbiegt. Wir bezeichnen wieder die Anzahl der Etagen mit k und die Anzahl der Abbiegungen nach rechts mit r. Dann enthält der Weg also r Abbiegungen nach rechts und k-r-1 Abbiegungen nach links, da die Biene ja pro Etage einmal abbiegt. Abgezogen wird lediglich die Ausgangsetage, in der die Biene startet.
Jeder andere Weg, der genauso viele Schritte nach rechts und links enthält, diese nur in anderer Reihenfolge durchläuft, landet am gleichen Ziel. Also musst Du nur noch bestimmen, auf wieviele Arten Du die Schritte der Biene umsortieren kannst. Dafür liefert die Kombinatorik Dir die (etwas kryptische) Antwort
W(k,r) = \binom{k-1}{r} = \frac{(k-1)!}{r!(k-r-1)!}
mit dem Binomialkoeffizienten. Speziell für k=4 ergibt sich daraus mit einem Taschenrechner oder von Hand schnell W(4,0)=1, W(4,1)=3, W(4,2)=3 und W(4,3)=1. Insgesamt ergeben sich also wieder alle acht Wege.
Insbesondere ist die Anzahl der Wege zu einem Ziel nahe dem rechten Rand gleich der Anzahl der Wege zu einem Ziel genauso nahe am linken Rand, da
W(k,r) = \binom{k-1}{r} = \binom{k-1}{k-1-r} = W(k,k-r)
gilt.
Liebe Grüße,
TN
