Wert des folgenden Integrals bestimmen

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo
ich habe folgende Frage:

ich soll den Wert des folgenden Integrals bestimmen:

Integral (obere Grenze 2; untere Grenze 1)
dx/(4-x^2)^1/2

ich komme da einfach nicht weiter.
Eine Angabe mit Rechenweg wäre sehr nett.
Könnt Ihr mir helfen???

Besten Dank

#2

Hallo
ich habe folgende Frage:

ich soll den Wert des folgenden Integrals bestimmen:

Integral (obere Grenze 2; untere Grenze 1)
dx/(4-x^2)^1/2

ich komme da einfach nicht weiter.
Eine Angabe mit Rechenweg wäre sehr nett.
Könnt Ihr mir helfen???

Das klingt stark nach Hausaufgabe …

Ich würd’s mal mit der Ableitung des Arkussinus versuchen.

#3

Hi,

Du muss erstmal die 4 aus der Wurzel ausklammern (wird zu 1/2 vor dem Integral), dann kannst du x/2=sin(y) substituieren, dann kriegst Du mit der Formel cos^2+sin^2=1 alles aus dem Integral weg.

Viele Grüße.

#4

Hallo,

denke einfach daran, dass

\frac{d}{dx}arcsin(x) = \frac{1}{ \sqrt{1-x^2} }

und

\frac{1}{ \sqrt{4-x^2} } = \frac{1}{ \sqrt{2(1-\frac{x^2}{2}}) }

sind.

MfG
Darek

#5

Sry, zweite Gleichung muss natürlich lauten:

\frac{1}{\sqrt{4-x^2}} = \frac{1}{\sqrt{4(1-(\frac{x}{2})^2)}}

#6

Gib das Ding mal bei www.wolframalpha.com ein.
Der müsste dir auch einen Weg ausgeben. Auf den ersten Blick, denke ich daran, dass das mit partieller Integration gehen sollte. Wenn dir der Weg von WolframAlpha etwas zu hahnebüchen vorkommt (das ist er manchmal wirklich) dann frag ruhig nochmal nach.
Gruß,
Wandynsky

#7

Besten Dank an alle

#8

Hallo Loki,

hattet ihr schon den Arkussinus? Schau Dir dessen Ableitung mal an. Wenn Du folgendes machst

\int\frac{dx}{\sqrt{4-x^2}} = \int\frac{dx}{2 \cdot \sqrt{1-(\frac{x}{2})^2}}

könntest Du t:=\frac{x}{2} substituieren. Und dann müsstest Du drauf kommen.

Viele Grüße
Karsten

#9

Hallo zurück!

Dabei kann ich leider nicht helfen! Mein Eintrag bezieht sich auf die Telefonanlagen der Firma Avaya/Bosch/Telenorma der Baureihe „Integral-2 oder Integral-3“.
Aber ich drücke die Daumen das sich jemand mit ordentlichen Mathe-Kenntnissen meldet :wink:

#10
  1. Mit Hilfe von x=2z entsteht
    2dz/(4-4z^2)^1/2

wobei sich natürlich auch die Integrationsgrenzen ändern.

  1. Faktor kürzen und
    dz/(1-z^2)^1/2

in einer Tabelle nachschlagen, Grenzen einsetzen.

PS: Dieses einfache und geradlinige Vorgehen sollte einem in Fleisch und Blut übergehen!

Integral (obere Grenze 2; untere Grenze 1)
dx/(4-x^2)^1/2

#11

Hallo.

Man berechnet dieses Integral zum Beispiel mit Hilfe der Substitutions-
regel. Dazu muss man wissen, dass die Stammfunktion der Funktion
f(x)=(1-x^2)^(1/2) die Umkehrfunktion der Sinusfunktion ist. Diese
Umkehrfunktion nennt man den Arcussinus und kürzt sie mit arcsin ab.

Zur Substitutionsregel finden Sie etwas hier

https://de.wikipedia.org/wiki/Integration_durch_Subs…

Mit der dort verwendeten Notation definiert man:

phi: [1/2,1] --> [1,2], t --> 2t.

Wenn Sie nun die Formel der Substitutionsregel hinschreiben erhalten Sie
als Wert für das gesuchte Integral:

arcsin(1)-arcsin(1/2) = pi/2 - pi/6.